Question

某商店经销全国大学生运动会吉祥物“UU”玩具，“UU”玩具每个进价60元，每个玩具不得低于80元出售．销售“UU”玩具的单价m（元/个）与销售数量n（个）之间的函数关系如图所示．
（1）试求表示线段AB的函数的解析式，并求出当销售数量n=20时的单价m的值；
（2）写出该店当一次销售n（n＞10）个时，所获利润w（元）与n（个）之间的函数关系式：
（3）店长小明经过一段时间的销售发现：卖26个赚的钱反而比卖30个赚的钱多，你能用数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个80元至少提高到多少？

Answer

（1）利用待定系数法求线段AB的函数的解析式，设m=kx+b，把A（10，100）和B（30，80）代入上式得到关于k、b的方程组，解方程组即可；然后把n=20代入解析式得到对应的m的值；
（2）分类讨论：当10＜n＜30时，W=（m-60）n；当n≥30时，W=（80-60）n；
（3）配方W=-n2+50n得到W=-（n-25）2+625，根据二次函数的性质讨论增减性，可得卖26个赚的钱反而比卖30个赚的钱多．为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个80元至少提高到85元．
【解析】
（1）设m=kx+b，
把A（10，100）和B（30，80）代入上式，得10k+b=100，30k+b=80，
解得k=-1，b=110，
∴线段AB的函数的解析式为m=-n+110（10≤n≤30）；
当n=20时，m=-20+110=90；

（2）当10＜n＜30时，W=（m-60）n=（-n+110-60）n=-n2+50n，
当n≥30时，W=（80-60）n=20n；

（3）W=-n2+50n=-（n-25）2+625，
①当10＜n≤25时，W随n的增大而增大，即卖的越多，利润越大；
②当25＜n≤30时，W随n的增大而减小，即卖的越多，利润越小；
∴卖26个赚的钱反而比卖30个赚的钱多．
所以为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个80元至少提高到85元．