Question

已知：▱ABCD中，AC⊥CD，点E在射线CB上，点F在射线DC上，且∠EAF=∠B．
（1）当∠BAD=135°时，若点E在线段CB上，点F在线段DC上（如图1），求证：BE+DF=AD；
（2）当∠BAD=120°时，若点E在线段CB上，点F在线段DC上（如图2），则AD、BE、DF之间的数量关系是______；
（3）当∠BAD=120°时，连接EF，设直线AF、直线BC交于点Q，当AB=3，BE=2时，求EQ和EF的长．

Answer

（1）此题要通过相似三角形求解；根据∠EAF=∠CAD=45°，可证得∠EAC=∠FAD，而∠ACB=∠D=45°，即可得△AEC∽△AFD，根据AC、AD的比例关系，即可得EC、FD的比例关系，由此得解．
（2）按照（1）的思路，此题要构造相似三角形来求解；取BC的中点G，连接AG；首先通过证△AGC∽△AFD来得到EG、FD的比例关系，然后根据BC=2（BE+EG）求得BE、CF、AD的等量关系式．
（3）此题应分两种情况：
①如（2），点E、F分别在线段BC、CD上；过F作FH⊥BQ于H，由（2）的相似三角形易得FD=2EG=2，那么CF=1，在Rt△CFH中，即可求出FH、CH的值；进而可由勾股定理求得EF的长；由相似三角形△ADF∽△QCF易得CQ的长，即可求出EQ的值；
②点E、Q分别在CB、DC的延长线上；分别过A、F作BC的垂线，设垂足为M、N；易求得AM、FN、BM、EN的长，进而可求出GM、MN的值，根据AM、FN的长，易求得△AMQ、FNQ的相似比，即可求出NQ、MQ的值，从而求得EQ、EF的长，由此得解．
【解析】
（1）证明：∵∠BAD=135°，且∠BAC=90°，
∴∠CAD=45°，即△ABC、△ADC都是等腰直角三角形；
∴AD=AC，且∠D=∠ACB=45°；
又∵∠EAC=∠DAF=45°-∠FAC，
∴△AEC∽△AFD，
∴AE：AD=EC：FD=1：，即EC=FD；
∴BC=BE+DF，即BE+DF=AD．

（2）2BE+DF=AD；理由如下：
取BC的中点G，连接AG；
易知：∠DAC=∠BCA=30°，∠B=∠D=60°；
在Rt△ABC中，G是斜边BC的中点，则：
∠AGE=60°，AD=BC=2AG；
∵∠GAD=∠AGE=60°=∠EAF，
∴∠EAG=∠FAD=60°-∠GAF；
又∵∠AGE=∠D=60°，
∴△AGE∽△ADF，得：AG：AD=EG：FD=1：2；
即FD=2EG；
∴BC=2BG=2（BE+EG）=2BE+2EG=2BE+DF，即AD=2BE+DF．

（3）在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=3，则BC=AD=6，EC=4．
①如图（2）①，过F作FH⊥BQ于H；
同（2）可知：DF=2EG=2，CF=CD-DF=1；
在Rt△CFH中，∠FCH=60°，则：
CH=，FH=；
易知：△ADF∽△QCF，由DF=2CF，可得CQ=AD=3；
∴EQ=EC+CQ=4+3=7；
在Rt△EFH中，EH=EC+CH=，FH=；
由勾股定理可求得：EF=．
②如图（2）②；
∵∠EAF=∠GAD=60°，
∴∠EAG=∠FAD=60°+∠FAG，
又∵∠EGA=∠D=60°，
∴△EAG∽△FAD，得：EG：FD=AG：AD=1：2；
即FD=2EG=10，FC=10-CD=7；
在Rt△FCN中，∠FCN=60°，
易求得FN=，NC=，GN=；
在等边△ABG中，AM⊥BG，易求得AM=，MG=，MN=MG-GN=1；
由于△AMQ∽△FNQ，得：AM：FN=MQ：NQ=3：7，即QN=，MQ=；
EQ=EB+BM+MQ=2++=；
Rt△EFN中，EN=EG-NG=5-=，FN=，
由勾股定理，得：EF=；
综上可知：EQ=7或，EF=或．