Question

如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交与点D．

1.判断CD与⊙O的位置关系并说明理由；

2.若∠ACB=120°，OA=2，求CD的长．

Answer

1.CD与⊙O的位置关系是相切，理由如下：作直径CE，连结AE．

∵CE是直径， ∴∠EAC＝90°，∴∠E＋∠ACE=90°，

∵CA=CB，∴∠B＝∠CAB，∵AB∥CD，

∴∠ACD＝∠CAB，∵∠B＝∠E，∠ACD＝∠E，

∴∠ACE＋∠ACD=90°，即∠DCO=90°，

∴OC⊥D C，∴CD与⊙O相切．

2.∵CD∥AB，OC⊥D C，∴OC⊥A B，

又∠ACB=120°，∴∠OCA＝∠OCB=60°，

∵OA=OC，∴△OAC是等边三角形，

∴∠DOA=60°，

∴在Rt△DCO中， =，

∴DC=OC=OA=2．

【解析】（1）直线与圆的位置关系有相交、相切、内含，该题通过条件可证∠DCO=90°，即直线与圆相切；（2）解直角三角形即可得DC的长。