2011-2012学年四川省成都七中高三（上）开学考试数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|lgx≤0}，B={x|2^x≤1}，则∁_U（A∪B）=（ ）
A．（-∞，1）
B．（1，+∞）
C．（-∞，1]
D．[1，+∞）

2. 难度：中等

设z=1+i（i是虚数单位），则=（ ）
A．-1-i
B．-1+i
C．1-i
D．1+i

3. 难度：中等

函数，则f（x）=0在（a，b）内（ ）
A．没有实根
B．至少有一个实根
C．有两个实根
D．有且只有一个实根

4. 难度：中等

关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是（ ）
A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n
B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n
C．m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n
D．m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n

5. 难度：中等

若两个非零向量，满足|+|=|-|=2||，则向量+与-的夹角是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1-a_n=n（n∈N*），则a₁₀₀的值为（ ）
A．5050
B．5051
C．4950
D．4951

7. 难度：中等

将函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所对应的函数为y=cosx，则f（x）为（ ）
A．y=cos（2x+）
B．y=cos（2x-）
C．y=cos（2x+π）
D．y=cos（2x-π）

8. 难度：中等

设f（x）=  的反函数为f^-1（x），若f^-1=n，则f（n+4）=（ ）
A．2
B．-2
C．1
D．-1

9. 难度：中等

已知球的半径为5，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为6，则两圆的圆心距为（ ）
A．4
B．
C．
D．1

10. 难度：中等

将的展开式中各项重新排列，使含x的正整数次幂的项互不相邻的排法共有多少种？（ ）
A．A₁₃³•A₁₃¹⁰
B．A₁₀¹⁰+A₁₁³
C．A₁₃⁴•A₉⁹
D．A₁₀¹⁰•A₁₁³

11. 难度：中等

如图所示，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD₁上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN的中点的轨迹的面积为（ ）

A．4π
B．2π
C．π
D．

12. 难度：中等

已知集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，M={（x，y）||x|+|y|＜a}，P={（x，y）y=f（x）}，现给出下列函数：
①y=a^x
②y=log_ax
③y=sin（x+a）
④y=cosax，
若0＜a＜1时，恒有P∩∁uM=P，则f（x）所有可取的函数的编号是（ ）
A．①②③④
B．①②④
C．①②
D．④

二、填空题

13. 难度：中等

已知，则tanα=    ．

14. 难度：中等

已知{a_n}是等比数列，，则a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=    ．

15. 难度：中等

定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x，若x∈[-4，-2]时，f（x）≥恒成立，则实数t的取值范围是    ．

16. 难度：中等

给出定义：若m-＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[0，]；
②函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称；
③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；
④函数y=f（x）在[-，]上是增函数．
其中正确的命题的序号    ．

三、解答题

17. 难度：中等

△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，-），=（cos2B，2cos²-1）且∥．
（Ⅰ）求锐角B的大小；
（Ⅱ）如果b=2，求△ABC的面积S_△ABC的最大值．

18. 难度：中等

某选手进行实弹射击训练，射击中每次射击的结果是相互独立的．已知他每次射击时，命中环数ξ的分布列如下表：

ξ	8	9	10
P	0.1	0.5	0.4

该选手在训练时先射击三次，若三次射击的总环数不小于29环，则射击训练停止；若三次射击的总环数小于29环，则再射击三次，然后训练停止．
（I）求该选手在射击训练中恰好射击三次的概率；
（II）求该选手训练停止时，射击的次数η的分布列及期望．

19. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱BC，CC₁上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA₁=1：2：4，
（1）求异面直线EF与A₁D所成角的余弦值；
（2）证明AF⊥平面A₁ED；
（3）求二面角A₁-ED-F的正弦值．

20. 难度：中等

已知偶函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R），
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）设，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足，证明：{b_n}是等差数列；
（3）证明：．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+lnx（a∈R）．
（1）当时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称为g（x）为f₁（x），f₂（x）的“活动函数”．
已知函数，．
①若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围；
②当时，求证：在区间（1，+∞）上，函数f1（x），f2（x）的“活动函数”有无穷多个．