2011-2012学年广西南宁市武鸣高中、浔州高中高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合A={1，2，3，4，5，6}，B={3，4，5，X}，若B⊆A，则X可以取的值为（ ）
A．1，2，3，4，5，6
B．1，2，3，4，6
C．1，2，3，6
D．1，2，6

2. 难度：中等

下列函数中，既是奇函数又是周期为π的函数是（ ）
A．y=sin²
B．y=sinxcos
C．
D．y=cos2

3. 难度：中等

若命题p或q为真，p且q为假，非p为真，那么（ ）
A．p真q假
B．p假q假
C．p真q真
D．p假q真

4. 难度：中等

复数z满足，则z=（ ）
A．1-4i
B．1+4i
C．4-i
D．4+i

5. 难度：中等

已知直线m⊂平面α，直线n⊂平面α，“直线c⊥m，直线c⊥n”是“直线c⊥平面α”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

6个完全相同的小球放在标有1、2、3、4号四个不同的盒子里，使每个盒子都不空的放法有（ ）种．
A．6
B．8
C．10
D．24

7. 难度：中等

不等式组表示的平面区域的面积为（ ）
A．
B．4
C．
D．8

8. 难度：中等

如图，曲线C₁、C₂、C₃分别是函数y=a^x、y=b^x、y=c^x的图象，则（ ）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜B
C．c＜b＜a
D．b＜c＜a

9. 难度：中等

为了得到函数y=log₂（x+2）的图象，只需把函数y=log₂（x-1）的图象向（ ）
A．左平移3个单位
B．右平移3个单位
C．左平移1个单位
D．右平移1个单位

10. 难度：中等

直角△ABC中，斜边AB上的高为CD，则（ ）
A．AB=CD²
B．AB≥2CD
C．AB≤2CD
D．AB²≤2CD

11. 难度：中等

已知直线l：xcosθ+ysinθ=1，且0P⊥l于P，O为坐标原点，则点P的轨迹方程为（ ）
A．x²+y²=1
B．x²-y²=1
C．x+y=1
D．x-y=1

12. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，a₁=3，则=（ ）
A．
B．1
C．
D．2

二、填空题

13. 难度：中等

不等式|2x-a|＜2的解为1＜x＜3，则a=    ．

14. 难度：中等

倾斜角为60°，在x轴上的截距为的直线方程为    ．

15. 难度：中等

若=，则a₂=    ．

16. 难度：中等

过抛物线x²=4y的焦点的直线交抛物线于A、B两点，抛物线分别在A、B两点处的切线交于Q点，则点Q的纵坐标是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

函数f（x）=asin2x+2cos2x的最大值为3．
（1）求实数a的值；                   
（2）求f（x）的单调递增区间．

18. 难度：中等

甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：
（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率；
（Ⅱ）签约人数ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AA₁=3，E、F分别在侧棱BB₁、DD₁上，且BE=1，D₁F=1．
（1）求证：A、E、C₁、F四点共面；
（2）求平面AEC₁F与底面ABCD所成的锐二面角的大小．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，a₁=1．
（1）设，证明：数列{b_n}是等比数列；
（2）设c_n=（a_n+1）a_n+1，求数列{c_n}的前n项和s_n．

21. 难度：中等

已知椭圆M的对称轴为坐标轴，且抛物线的焦点是椭圆M的一个焦点，又点A在椭圆M上．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）已知直线l的方向向量为，若直线l与椭圆M交于B、C两点，求△ABC面积的最大值．

22. 难度：中等

函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b∈R．
（1）若函数f（x）在其定义域内是单调函数，求b的取值范围；
（2）若对f（x）定义域内的任意x，都有f（x）≥f（1），求b的值；
（3）设时，若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得，求实数a的取值范围．