法一:(1)由ABC1D1,BED1F,且平面ABE∥平面C1D1F,∠ABE=∠C1D1F=,知△ABE≌△C1D1F,由此能够证明A、E、C1、F四点共面.
(2)延长C1E,CB交于G,连接AG,过B作BH⊥AG于H,连接EH,由正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,得EB⊥平面ABCD,故EH⊥AG,所以∠EHB是所求的二面角的平面角,由此能求出平面AEC1F与底面ABCD所成的锐二面角的大小.
(法二)(1)以C为原点,CD为x轴,CB为y轴,CC1为z轴建立空间直角坐标系,则C1(0,0,3),F(1,0,2),A(1,,1,0),E(0,1,1),由此能证明A、E、C1、F四点共面.
(2)设面EC1FA的一个法向量为=(x,y,z),,由,得,又面ABCD的一个法向量为,由向量法能够求出平面AEC1F与底面ABCD所成的锐二面角的大小.
(法一)(1)证:∵ABC1D1,BED1F,且平面ABE∥平面C1D1F,
∠ABE=∠C1D1F=,
∴△ABE≌△C1D1F,…(3分)
∴,∴A、E、C1、F四点共面.…(6分)
(2)延长C1E,CB交于G,连接AG,过B作BH⊥AG于H,连接EH,
由正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,得EB⊥平面ABCD,∴EH⊥AG,
∴∠EHB是所求的二面角的平面角,…(9分)
由△GBE∽△GCC1得=,∴GB=,在Rt△ABG中,
AG=,BH==,
∴tan∠EHB==,…(11分)
所以平面AEC1F与底面ABCD所成的锐二面角的大小为arctan.…(12分)
(法二)(1)以C为原点,CD为x轴,CB为y轴,CC1为z轴建立如图所示的空
间直角坐标系,则C1(0,0,3),F(1,0,2),A(1,,1,0),E(0,1,1),…(2分)
∴,,
∴C1F∥EA,∴A、E、C1、F四点共面.…(6分)
(2)设面EC1FA的一个法向量为=(x,y,z),∵,
由,得,
又面ABCD的一个法向量为,…(9分)
∴cos<>===,…(11分)
所以平面AEC1F与底面ABCD所成的锐二面角的大小为arccos.(12分)