2009-2010学年湖北省武汉市六校高三（上）第一次联考数学试卷（理科）（武大附中、华师大一附中、华科大附中、武理工附中、中南财大附中、地大附中）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设I为全集，S₁、S₂、S₃是I的三个非空子集，且S₁∪S₂∪S₃=I，则下面论断正确的是（ ）
A．C_IS₁∩（S₂∪S₃）=Φ
B．S₁⊆（C_IS₂∩C_IS₃）
C．C_IS₁∩C_IS₂∩C_IS₃）=Φ
D．S₁⊆（C_IS₂∪C_IS₃）

2. 难度：中等

已知函数f（x）=的反函数是f^-1（x），且，则（ ）
A．k∈（0，）
B．k∈（，1）
C．）k∈（1，）
D．k∈（，2）

3. 难度：中等

若复数，且，则x的取值范围是（ ）
A．（-∞，-3]∪[3，+∞）
B．（-∞，-]∪[，+∞）
C．[-3，3]
D．[-，]

4. 难度：中等

函数y=arccos（ax-1）在[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞）
B．（0，+∞）
C．（0，1]
D．（0，2]

5. 难度：中等

设三位数，若以a、b、c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（ ）
A．45个
B．81个
C．156个
D．165个

6. 难度：中等

（1+ax+by）ⁿ展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为（ ）
A．a=2，b=-1，n=5
B．a=-2，b=-1，n=6
C．a=-1，b=2，n=6
D．a=1，b=2，n=5

7. 难度：中等

直线y=x+1与椭圆mx²+ny²=1（m，n＞0）相交于A，B两点，弦AB的中点的横坐标是-，则双曲线-=1的两条渐近线所夹的锐角等于（ ）
A．2arctan2
B．2arctan
C．π-2arctan2
D．π-2arctan

8. 难度：中等

正四棱锥S-ABCD中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则α、β、γ、θ的大小关系是（ ）
A．α＜β＜γ＜θ
B．α＜β＜θ＜γ
C．θ＜α＜γ＜β
D．α＜γ＜β＜θ

9. 难度：中等

如图，半径为1的圆M，切直线AB于点O，射线OC从OA出发，绕O点顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PNO的面积S=f （ x ），那么f （ x ）的图象是
（

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N^*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列．设数列{b_n}的前n项和为T_n，且b_n=，则对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，T_n＜（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

11. 难度：中等

已知5cos²α+4cos²β=4cosα，则cos²α+cos²β的取值范围是    ．

12. 难度：中等

甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的80%，乙厂生产的占20%；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为    ．

13. 难度：中等

若方程lgkx=2lg（x+1）仅有一个实根，那么k的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：，且a_n+2=（n∈N^*），则如图中前n行所有数的和S_n=    ．

15. 难度：中等

函数y=++的最小值为    ，最大值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行玩游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域数为x，转盘（B）指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ，每一次游戏得到奖励分为ξ
（1）求x＜2且y＞1的概率；
（2）某人进行了12次游戏，求他平均可以得到的奖励分．

17. 难度：中等

在△OAB的边OA、OB上分别有一点P、Q，已知：=1：2，：=3：2，连接AQ、BP，设它们交于点R，若=，=．
（Ⅰ）用与表示；
（Ⅱ）过R作RH⊥AB，垂足为H，若||=1，||=2，与的夹角，求的范围．

18. 难度：中等

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，已知侧面BB₁C₁C与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B₁BC=60°，BC=BB₁=2，若二面角A-B₁B-C为30°．
（Ⅰ）证明：AC⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求AB₁与平面BB₁C₁C所成角的正切值；
（Ⅲ）在平面AA₁B₁B内找一点P，使三棱锥P-BB₁C为正三棱锥，并求P到平面BB₁C距离．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）是否存在实数t，使得数列是公差为-1的等差数列，若存在求出t的值，否则，请说明理由；
（3）记数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：．

20. 难度：中等

椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线l与椭圆交于A、B两点．
（1）如果点A在圆x²+y²=c²（c为椭圆的半焦距）上，且|F₁A|=c，求椭圆的离心率；
（2）若函数，（m＞0且m≠1）的图象，无论m为何值时恒过定点（b，a），求的取值范围．

21. 难度：中等

设函数f_n（θ）=sinⁿθ+（-1）ⁿcosⁿθ，0，其中n为正整数．
（1）判断函数f₁（θ）、f₃（θ）的单调性，并就f₁（θ）的情形证明你的结论；
（2）证明：2f₆（θ）-f₄（θ）=（cos⁴θ-sin⁴θ）（cos²θ-sin²θ）；
（3）对于任意给定的正奇数n，求函数f_n（θ）的最大值和最小值．