2011-2012学年湖北省荆门市龙泉中学高三（上）11月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|2^x＞1}，，则A∩（C_UB）=（ ）
A．{x|x＞1}
B．{x|0＜x＜1}
C．{x|0＜x≤1}
D．{x|x≤1}

2. 难度：中等

给定两个向量，，若，则x的等于（ ）
A．-3
B．
C．3
D．

3. 难度：中等

平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（-1，3），若点C满足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（ ）
A．3x+2y-11=0
B．（x-1）²+（y-2）²=5
C．2x-y=0
D．x+2y-5=0

4. 难度：中等

已知函数f（x）=，则f（2+log₃2）的值为（ ）
A．-
B．
C．
D．-54

5. 难度：中等

若向量且m+n=5，p+q=3，则的最小值为（ ）
A．4
B．
C．
D．8

6. 难度：中等

已知O是坐标原点，点A（1，2），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的最大值是（ ）
A．-1
B．
C．0
D．1

7. 难度：中等

已知二次函数f（x）=（x-a）（x-b）-2（a＜b），并且α、β（α＜β）是方程f（x）=0的两根，则a、b、α、β的大小关系是（ ）
A．α＜a＜b＜β
B．a＜α＜β＜b
C．a＜α＜b＜β
D．α＜a＜β＜b

8. 难度：中等

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*），在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，则log₂₀₁₁x₁+log₂₀₁₁x₂+…+log₂₀₁₁x₂₀₁₀的值为（ ）
A．-log₂₀₁₁2010
B．-1
C．log₂₀₁₁2010-1
D．1

9. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+θ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+…+f（2011）的值为（ ）
A．0
B．2
C．2+
D．2+2

10. 难度：中等

已知f（x）=x³-3x，过点A（1，m） （m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-1，1）
B．（-2，3）
C．（-1，2）
D．（-3，-2）

二、填空题

11. 难度：中等

若幂函数f（x）的图象经过点A（4，2），则它在A点处的切线方程为    ．

12. 难度：中等

已知，设，，，那么a、b、c的大小关系是    ．

13. 难度：中等

已知向量满足，若，则=    ．

14. 难度：中等

函数的最大值和最小值分别为M，m，则M+m=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

函数y=f（x）定义域为D，若满足：
①f（x）在D内是单调函数；
②存在[m，n]⊆D使f（x）在[m，n]上的值域为[]，那么就称y=f（x）为“减半函数”．若函数f（x）=是“减半函数”，则t的取值范围为______．

16. 难度：中等

已知a，b为正实数．
（1）求证：+≥a+b；
（2）利用（I）的结论求函数y=+（0＜x＜1）的最小值．

17. 难度：中等

如图，已知O为△ABC的外心，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且满足．
（1）推导出三边a，b，c之间的关系式；
（2）求的值．

18. 难度：中等

已知偶函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R），
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）设，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

某企业为了适应市场要求，计划从2011年起，在每月固定投资5万元的基础上，元月份追加投资6万元，以后每月的追加投资额均为之前几个月投资总和的20%，但每月追加部分的最高限额为10万元，记第个月的投资额为a_n（万元）．
（1）求a_n与n的关系式；
（2）预计2011年全年共需投资多少万元？
（精确到0.01，参考数据：1.2²=1.44，1.2³≈1.73，1.2⁴≈2.07，1.2⁵≈2.49，1.2⁶≈2.99）

20. 难度：中等

在xOy平面上有一系列的点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）…对于正整数n，点P_n位于函数y=x²（x≥0）的图象上，以点P_n为圆心的⊙P_n与x轴相切，且⊙P_n与⊙P_n+1又彼此外切，若x₁=1，且x_n+1＜x_n．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设⊙P_n的面积为S_n，，求证：．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），点A（s，f（s）），B（t，f（t））．
（1）若a=0，b=3，函数f（x）在（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，求t的取值范围；
（2）当a=0时，对任意的恒成立，求b的取值范围；
（3）若0＜a＜b，函数f（x）在x=s和x=t处取得极值，且，O是坐标原点，证明：直线OA与直线OB不可能垂直．