2012-2013学年福建福州市毕业班质量检查理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

是虚数单位，复数，．若的虚部为，则等于（  ）

A．2         B．－2     C．1          D．－1

2. 难度：简单

要得到函数的图象，只须将的图象上的所有的点（  ）

A.向左平移个单位长度          B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度          D.向右平移个单位长度

3. 难度：简单

根据某市环境保护局公布2007-2012这六年每年的空气质量优良的天数，绘制折线图如图．根据图中信息可知，这六年的每年空气质量优良天数的中位数是（  ）

A.       B.    C.            D.

4. 难度：简单

已知函数，则“”是“函数在上为增函数”的（  ）

A．充分而不必要条件          B．必要而不充分条件

C．充要条件                  D．既不充分也不必要条件

5. 难度：简单

已知命题“直线与平面有公共点”是真命题，那么下列命题：

①直线上的点都在平面内；

②直线上有些点不在平面内；

③平面内任意一条直线都不与直线平行．

其中真命题的个数是（  ）

A.3   B. 2 C.1    D.0

6. 难度：简单

已知等比数列的公比，且成等差数列，则的前8项和为（  ）

A.127        B.255        C.511        D.1023

7. 难度：简单

设则中奇数的个数为（  ）

A．2         B．3          C．4          D．5

8. 难度：简单

已知点是△所在平面内的一点，边AB的中点为D，若，其中，则点一定在（  ）

A．AB边所在的直线上          B．BC边所在的直线上

C．AC边所在的直线上           D．△的内部

9. 难度：简单

对于任意给定的实数，直线与双曲线，最多有一个交点，则双曲线的离心率等于（  ）

A．   B．        C．        D．

10. 难度：简单

对于函数与和区间D，如果存在，使，则称是函数与在区间D上的“友好点”．现给出两个函数：

①，；

②，；

③，；

④，，

则在区间上的存在唯一“友好点”的是（  ）

A．①②      B．③④    C． ②③     D．①④

二、填空题

11. 难度：简单

一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为         .

12. 难度：简单

已知函数，则的值等于        ．

13. 难度：简单

已知程序框图如右图所示，执行该程序，如果输入，输出，则在图中“？”处可填入的算法语句是         （写出以下所有满足条件的序号）．

　①；  

  ②；

  ③；  

  ④．

14. 难度：简单

在区间上任取两个数，，能使函数在区间内有零点的概率等于________.

15. 难度：简单

数列是由集合，且，中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，a₅＝30，a₆＝36，…，若＝，且，，则的值等于____________．

三、解答题

16. 难度：简单

已知平面向量a，b=，定义函数

（Ⅰ）求函数的值域；

（Ⅱ）若函数图象上的两点、的横坐标分别为和，为坐标原点，求△的面积．

17. 难度：简单

某校高三2班有48名学生进行了一场投篮测试，其中男生28人，女生20人．为了了解其投篮成绩，甲、乙两人分别对全班的学生进行编号（1~48号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样．若此次投篮考试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据：

                                                                

（Ⅰ）从甲抽取的样本数据中任取两名同学的投篮成绩，记“抽到投篮成绩优秀”的人数为X，求X的分布列和数学期望；

（Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据完成下列2×2列联表，判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？

（Ⅲ）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由.

下面的临界值表供参考：

	0.15	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

（参考公式：，其中）

18. 难度：简单

如图，已知多面体的底面是边长为的正方形，底面，，且．

（Ⅰ）求多面体的体积；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．

19. 难度：简单

已知，曲线上任意一点分别与点、连线的斜率的乘积为．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）设直线与轴、轴分别交于、两点，若曲线与直线没有公共点，求证：．

20. 难度：简单

已知函数．

（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，讨论函数在区间上的单调性；

（Ⅲ）证明不等式对任意成立．

21. 难度：简单

已知线性变换：对应的矩阵为，向量β．

（Ⅰ）求矩阵的逆矩阵；

（Ⅱ）若向量α在作用下变为向量β，求向量α．

22. 难度：简单

在极坐标系中，圆的极坐标方程为．现以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系．

（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；

（Ⅱ）若圆上的动点的直角坐标为，求的最大值，并写出取得最大值时点P的直角坐标．

23. 难度：简单

已知不等式的解集为．

（Ⅰ ）求的值；

（Ⅱ ）若，求的取值范围．