Question

如图，已知多面体的底面是边长为的正方形，底面，，且．

（Ⅰ）求多面体的体积；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．

Answer

（Ⅰ）（Ⅰ）．

（Ⅱ）设直线与平面所成角为，   

（Ⅲ）利用三角形中位线定理，取线段DC的中点，连接即为所求．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）（Ⅰ）连接ED，利用“分割法”计算得．

（Ⅱ）以点A为原点，AB所在的直线为轴，AD所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．确定得到A(0,0,0),E(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,2,1),及.

利用 确定平面的一个法向量为.

设直线与平面所成角为， 

（Ⅲ）取线段DC的中点；连接，则直线即为所求．

试题解析：（Ⅰ）如图，连接ED，

∵底面且，∴底面,

∴,

∵,

∴面,                      1分

∴,         2分

  ,              3分

∴多面体的体积

．              5分

（Ⅱ）以点A为原点，AB所在的直线为轴，AD所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A(0,0,0),E(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,2,1),

所以       7分

设平面ECF的法向量为，

则 得：

取y=1,得平面的一个法向量为          9分

设直线与平面所成角为，

所以    11分  

（Ⅲ）取线段CD的中点；连接，直线即为所求．                12分

图上有正确的作图痕迹            13分

考点：1、平行关系，2、垂直关系，3、空间向量的应用，4、角及体积的计算.