2012-2013学年东北三省四市教研协作体高三等值诊断联合（长春三模）理数学（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

不等式组表示的平面区域是(      )

A.                                  B.                                  C.                                  D.

2. 难度：简单

已知复数，且为实数，则(      )

A.                                      B.                                      C.                                     D.

3. 难度：简单

已知，则的值为(      )

A.                                  B.

C.                                   D.

4. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为(      )

A. 7                                        B. 15                                      C. 31                                      D. 63

5. 难度：简单

已知是平面向量，下列命题中真命题的个数是(      )

①                   ②

③            ④

A. 1                                        B. 2                                  C. 3                                         D. 4

6. 难度：简单

已知函数的图像关于直线对称，则实数的值为(      )

A.                      B.                     C.                                   D.

7. 难度：简单

一个棱长都为的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为(      )

A.          B. C.                           D.

8. 难度：简单

已知数列满足，，则(      )

A. 143       B. 156       C. 168       D. 195

9. 难度：简单

在中产生区间上均匀随机数的函数为“( )”,在用计算机模拟估计函数的图像、直线和轴在区间上部分围成的图形面积时，随机点与该区域内的点的坐标变换公式为(      )

A.                                       B.

C.                                     D.

10. 难度：简单

已知抛物线的焦点为，直线与此抛物线相交于两点，则(      )

A.                                     B. C.                                      D.

11. 难度：简单

如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为(      )

A.                         B.

C.                            D.

12. 难度：简单

已知两条直线和 (其中)，与函数的图像从左至右相交于点，，与函数的图像从左至右相交于点，.记线段和在轴上的投影长度分别为.当变化时，的最小值为(      )

A.                                      B.                                    C.                                   D.

二、填空题

13. 难度：简单

____________.

14. 难度：简单

用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数字夹在两个奇数字之间的四位数的个数为_____________.

15. 难度：简单

双曲线的左、右焦点分别为和，左、右顶点分别为和，过焦点与轴垂直的直线和双曲线的一个交点为，若是和的等比中项，则该双曲线的离心率为              .

16. 难度：简单

设集合，，   ，若，则实数的取值范围是____________.

三、解答题

17. 难度：简单

在三角形中，.

⑴ 求角的大小；

⑵ 若，且，求的面积.

18. 难度：简单

2012年第三季度，国家电网决定对城镇居民民用电计费标准做出调整，并根据用电情况将居民分为三类: 第一类的用电区间在，第二类在，第三类在（单位：千瓦时）. 某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示.

⑴ 求该小区居民用电量的中位数与平均数；

⑵ 利用分层抽样的方法从该小区内选出10位居民代表，若从该10户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率；

⑶ 若该小区长期保持着这一用电消耗水平，电力部门为鼓励其节约用电，连续10个月，每个月从该小区居民中随机抽取1户，若取到的是第一类居民，则发放礼品一份，设为获奖户数，求的数学期望与方差.

19. 难度：简单

如图，是矩形中边上的点，为边的中点，，现将沿边折至位置，且平面平面.

⑴ 求证：平面平面；

⑵ 求二面角的大小.

20. 难度：简单

如图，曲线与曲线相交于、、、四个点.

⑴ 求的取值范围；

⑵ 求四边形的面积的最大值及此时对角线与的交点坐标.

21. 难度：简单

已知函数.

⑴ 求函数的单调区间；

⑵ 如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围；

⑶ 设函数，. 过点作函数图像的所有切线，令各切点的横坐标构成数列，求数列的所有项之和的值.

22. 难度：简单

如图，是的直径，弦与垂直，并与相交于点，点为弦上异于点的任意一点，连结、并延长交于点、.

⑴ 求证：、、、四点共圆；

⑵ 求证：.

23. 难度：简单

在直角坐标系中，曲线的参数方程为，

以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

⑴ 求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

⑵ 当时，曲线和相交于、两点，求以线段为直径的圆的直角坐标方程.

24. 难度：简单

设函数，．

⑴ 求不等式的解集；

⑵ 如果关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．