Question

已知函数.

⑴ 求函数的单调区间；

⑵ 如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围；

⑶ 设函数，. 过点作函数图像的所有切线，令各切点的横坐标构成数列，求数列的所有项之和的值.

Answer

(1) .;(2) .(3) .

【解析】

试题分析：(1)利用求导的基本思路求解，注意导数的四则运算；（2）利用转化思想将问题转化为总成立，只需时.借助求导，研究的性质，通过对参数k的讨论和单调性的分析探求实数的取值范围；（3）化简函数，利用导数的几何含义求解曲线的切线方程，化简得到，分析得到，，则这两个函数的图像均关于点对称进行求解数列的所有项之和的值.

试题解析：(1) 由于，所以

.                          (2分)

当，即时，；

当，即时，.

所以的单调递增区间为，

单调递减区间为.                                                             (4分)

(2) 令，要使总成立，只需时.

对求导得，

令，则，()

所以在上为增函数，所以.                                                (6分)

对分类讨论：

① 当时，恒成立，所以在上为增函数，所以，即恒成立；

② 当时，在上有实根，因为在上为增函数，

所以当时，，所以，不符合题意；

③ 当时，恒成立，所以在上为减函数，则，不符合题意.

综合①②③可得，所求的实数的取值范围是.                                                       (9分)

 (3) 因为，所以，

设切点坐标为，则斜率为，

切线方程为，                        (10分)

将的坐标代入切线方程，得

，即，                                      

令，，则这两个函数的图像均关于点对称，

它们交点的横坐标也关于对称成对出现，方程，

的根即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列的项也关于对称成对出现，在内共构成1006对，每对的和为，因此数列的所有项的和. (12分)

考点：1.函数与导数的综合应用能力；2.用导数来描述函数的单调性、极值以及函数零点的情况.