Question

如图，曲线与曲线相交于、、、四个点.

⑴ 求的取值范围；

⑵ 求四边形的面积的最大值及此时对角线与的交点坐标.

Answer

(1) (2) 的最大值为16.，对角线与交点坐标为.

【解析】

试题分析：(1)通过直线与抛物线联立，借助判别式和韦达定理求解参数的范围；(2)根据图形的对称性，明确四边系ABCD的面积为，然后借助韦达定理将三角形面积表示为含有参数的表达式，最后化简通过构造函数， 利那用求导的方法研究最值. 分别求出对角线与的直线方程，进而求交点坐标.

试题解析：(1) 联立曲线消去可得，

，根据条件可得，解得.

(4分)

(2) 设，，，，

则

.

                                                                                                                                                               (6分)

令，则，，                                         (7分)

设，

则令，

可得当时，的最大值为，从而的最大值为16.

此时，即，则.                                                                  (9分)

联立曲线的方程消去并整理得

，解得，，

所以点坐标为，点坐标为，

，

则直线的方程为，                                       (11分)

当时，，由对称性可知与的交点在轴上，

即对角线与交点坐标为.                            (12分)

考点：1.直线与圆锥曲线的综合应用能力;2.直线与圆锥曲线的相关知识;3.圆锥曲线中极值的求取.