2017届北京市西城区高三4月统一测试（一模）文数试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知全集,集合, ,那么 (   )

A.     B.     C.     D.

2. 难度：简单

在复平面内,复数的对应点位于(   )

A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限

3. 难度：简单

双曲线的焦点坐标是(   )

A. ,    B. ,

C. ,    D. ,

4. 难度：简单

函数的零点个数为(   )

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

5. 难度：简单

函数定义在上,则曲线“过原点”是“为奇函数”的（   ）

A. 充分而不必要条件    B. 必要而不充分条件    C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

在中，点满足，则（   ）

A.     B.

C.     D.

7. 难度：中等

在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示，如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（   ）

A.     B. 6    C.     D.

8. 难度：中等

函数的图象上任意一点的坐标满足条件，称函数具有性质，下列函数中，具有性质的是（   ）

A.     B.     C.     D.

二、填空题

9. 难度：简单

函数的定义域为__________．

10. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，当输入时，输出的值为__________．

11. 难度：中等

圆： 的圆心坐标是__________；直线： 与圆相交于， 两点，则__________．

12. 难度：中等

函数的最小正周期是__________．

13. 难度：中等

实数， 满足则的最大值是__________，最小值是__________．

14. 难度：中等

如图，正方体的棱长为2，点在正方形的边界及其内部运动，平面区域由所有满足的点组成，则的面积是__________．

三、解答题

15. 难度：简单

已知是等比数列， ， ，数列满足， ，且是等差数列．

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和．

16. 难度：中等

在中，角， ， 的对边分别为， ， ，且．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求的取值范围．

17. 难度：中等

在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度， 为答对该题的人数， 为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：

题号	1	2	3	4	5
考前预估难度	0.9	0.8	0.7	0.6	0.4

测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：

学生编号           题号	1	2	3	4	5
1	×	√	√	√	√
2	√	√	√	√	×
3	√	√	√	√	×
4	√	√	√	×	×
5	√	√	√	√	√
6	√	×	×	√	×
7	×	√	√	√	×
8	√	×	×	×	×
9	√	√	×	×	×
10	√	√	√	√	×

（Ⅰ）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；

题号	1	2	3	4	5
实测答对人数
实测难度

（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；

（Ⅲ）定义统计量，其中为第题的实测难度， 为第题的预估难度．规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理.

18. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面为正方形， 底面， ，过点的平面与棱， ， 分别交于点， ， （， ， 三点均不在棱的端点处）．　

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若平面，求的值；

（Ⅲ）直线是否可能与平面平行？证明你的结论.

19. 难度：中等

如图，已知椭圆： 的离心率为， 为椭圆的右焦点， ， .

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为原点， 为椭圆上一点， 的中点为，直线与直线交于点，过作，交直线于点，求证： .

20. 难度：困难

已知函数，设为曲线在点处的切线，其中.

（Ⅰ）求直线的方程（用表示）；

（Ⅱ）求直线在轴上的截距的取值范围；

（Ⅲ）设直线分别与曲线和射线（）交于， 两点，求的最小值及此时的值.