河北省石家庄市2017届高三下学期模拟联考数学（理）试卷

一、选择题

1. 难度：中等

设集合， ，则（    ）

A.     B.     C.     D.

2. 难度：中等

若复数满足，则（    ）

A.     B.     C.     D. 1

3. 难度：中等

已知点在角终边的延长线上，且，则的坐标为（    ）

A.     B.     C.     D.

4. 难度：中等

若，，则（    ）

A.     B.     C.     D.

5. 难度：中等

根据如图的程序框图，当输入为2017时，输出的为28，则判断框中的条件可以是（    ）

A.     B.     C.     D.

6. 难度：中等

在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.问几天后两鼠相遇？（    ）

A.     B.     C.     D.

7. 难度：中等

已知函数，若，都是从任取的一个数，则满足时的概率（    ）

A.     B.     C.     D.

8. 难度：困难

函数图象上的某点可以由函数上的某点向左平移个单位长度得到，则的最小值为（    ）

A.     B.     C.     D.

9. 难度：困难

如图所示，网络纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（    ）

A.     B.     C.     D.

10. 难度：困难

某计算器有两个数据输入口，一个数据输出口，当分别输入正整数1时，输出口输出2，当输入正整数， 输入正整数时， 的输出是；当输入正整数， 输入正整数时， 的输出是；当输入正整数， 输入正整数时， 的输出是；当输入60， 输入50时， 的输出是（    ）

A. 494    B. 492    C. 485    D. 483

11. 难度：困难

已知直线与双曲线交于，两点，且中点的横坐标为，过且与直线垂直的直线过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为（    ）

A.     B.     C.     D.

12. 难度：中等

已知，若关于的方程，恰好有4个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ）

A.     B.     C.     D.

二、填空题

13. 难度：中等

已知二项式展开式中，则项的系数为__________.

14. 难度：中等

已知向量， ，则__________．

15. 难度：中等

已知函数，无论取何值，函数在区间总是不单调.则的取值范围是__________．

16. 难度：困难

已知中，角为直角， 是边上一点， 是上一点，且， ，则__________．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列前项和为，且满足， .

（1）求数列的通项公式；

（2）令， 为的前项和，求证： .

18. 难度：中等

已知中， ， 分别为边上的两个三等分点， 为底边上的高， ，如图1.将， 分别沿， 折起，使得， 重合于点， 中点为，如图2.

（1）求证： ；

（2）若直线与平面所成角的正切值为2，求二面角的大小.

19. 难度：中等

某中学高二年级开设五门大学先修课程，其中属于数学学科的有两门，分别是线性代数和微积分，其余三门分别为大学物理，商务英语以及文学写作，年级要求每名学生只能选修其中一科，该校高二年级600名学生各科选课人数统计如下表：

其中选修数学学科的人数所占频率为0.6，为了了解学生成绩与选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行分析.

（1）从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少2人选修线性代数的概率；

（2）从选出的10名学生中随机抽取3人，记为选择线性代数人数与选择微积分人数差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，短轴长为，右焦点为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线过点且与椭圆有且仅有一个公共点，过点作直线交椭圆与另一点.

①证明：当直线与直线的斜率， 均存在时， 为定值；

②求面积的最小值.

21. 难度：中等

已知函数在处的切线与直线垂直.

（1）求函数（为的导函数）的单调递增区间；

（2）记函数，设， 是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值.

22. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别是（是参数）和（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；

（2）射线与曲线的交点为，，与曲线的交点为，，求的最大值.

23. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）设函数.当时，，求的取值范围.