Question

已知函数在处的切线与直线垂直.

（1）求函数（为的导函数）的单调递增区间；

（2）记函数，设， 是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值.

Answer

（1）;（2）.

【解析】【试题分析】（1）依据题设借助导数与函数的单调性之间的关系分析求解；（2）先依据题设条件将问题进行等价转化，再构造函数运用导数知识分析探求：

（1）由题意可得： ， ，可得： ；

又，所以 ；

当时， ， 单调递增；

当时， ， 单调递减；故函数的单调增区间为.

（2）， ，

因为， 是的两个极值点，故， 是方程的两个根，由韦达定理可知：

， ，可知，又，

令，可证在递减，由，从而可证.

所以

.

.

令， ，

所以单调减，故，所以，即.