2015-2016学年湖北省高二上期末理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知命题P：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是（  ）

A．（￢p）∨q    B．p∧q    C．（￢p）∧（￢q）    D．（￢p）∨（￢q）

2. 难度：中等

我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（  ）

A．134石    B．169石    C．338石    D．1365石

3. 难度：中等

已知（1+x）ⁿ的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（  ）

A．2¹²    B．2¹¹    C．2¹⁰    D．2⁹

4. 难度：中等

以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（  ）

A．2，5    B．5，5    C．5，8    D．8，8

5. 难度：中等

“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件是（  ）

A．﹣2＜m＜﹣1    B．m＜﹣2或m＞﹣1    C．m＜0    D．m＞0

6. 难度：中等

对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P₁，P₂，P₃，则（  ）

A．P₁=P₂＜P₃    B．P₂=P₃＜P₁    C．P₁=P₃＜P₂    D．P₁=P₂=P₃

7. 难度：中等

已知x与y之间的几组数据如下表：

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是（  ）

A．＞b′，＞a′    B．＞b′，＜a′

C．＜b′，＞a′    D．＜b′，＜a′

8. 难度：简单

六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（  ）

A．192种    B．216种    C．240种    D．288种

9. 难度：中等

设集合A={（x₁，x₂，x₃，x₄，x₅）|x_i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x₁|+|x₂|+|x₃|+|x₄|+|x₅|≤3”的元素个数为（  ）

A．60    B．90    C．120    D．130

10. 难度：中等

程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（  ）

A．0    B．2    C．4    D．14

11. 难度：中等

从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（  ）

A．      B．     C．      D．

二、解答题

12. 难度：简单

椭圆x²+=1短轴的左右两个端点分别为A，B，直线l过定点（0，1）交椭圆于两点C，D．设直线AD，CB的斜率分别为k₁，k₂，若k₁：k₂=2：1，则直线l斜率k的值为（  ）

A．k=2    B．k=3    C．.k=或3    D．k=2或

三、填空题

13. 难度：简单

为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）．则x=      ，y=      ；

若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，则这2人都来自高校C的概率=     ．

14. 难度：中等

口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回的每次摸取一个球，定义数列{a_n}：a_n=，如果S_n为数列{a_n}的前n项之和，那么S₇=3的概率为     ．

15. 难度：中等

俗话说：“三个臭皮匠顶个诸葛亮”．但由于臭皮匠太“臭”，三个往往还顶不了一个诸葛亮．已知诸葛亮单独解出某道奥数题的概率为0.8，每个臭皮匠单独解出该道奥数题的概率是0.3．试问，至少要几个臭皮匠能顶个诸葛亮？      ．

16. 难度：简单

设0＜a＜b，过两定点A（a，0）和B（b，0）分别引直线l和m，使之与抛物线y²=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，这种直线l和m的交点P的轨迹为      ．

四、解答题

17. 难度：简单

已知P：2x²﹣9x+a＜0，q：且¬p是¬q的充分条件，求实数a的取值范围．

18. 难度：困难

某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．

（1）求图中a的值；

（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；

（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．

19. 难度：简单

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．

（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；

（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．

20. 难度：中等

已知圆C₁：x²+y²+6x﹣4=0，圆C₂：x²+y²+6y﹣28=0．

（1）求过这两个圆交点的直线方程；

（2）求过这两个圆交点并且圆心在直线x﹣y﹣4=0上的圆的方程．

21. 难度：困难

已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中a²=b²+c²，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F₀，F₁，F₂是相应椭圆的焦点，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圆”与x，y轴的交点，

（1）若三角形F₀F₁F₂是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

（2）若|A₁A|＞|B₁B|，求的取值范围；

（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．