2012-2013学年云南省保山市隆阳区曙光中学高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列全称命题为真命题的是（ ）
A．所有的素数是奇数
B．∀x∈R，x²+1≥1
C．对每一个无理数x，x²也是无理数
D．所有的平行向量均相等

2. 难度：中等

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=1，b=2，A=120°，则a等于（ ）
A．
B．2
C．
D．

3. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁+a₉=10，则a₅的值为（ ）．
A．5
B．6
C．8
D．10

4. 难度：中等

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，b=1，则角B等于（ ）
A．
B．
C．
D．或

5. 难度：中等

已知等比数列{a_n}满足a₁+a₂=3，a₂+a₃=6，则a₇=（ ）
A．64
B．81
C．128
D．243

6. 难度：中等

若a，b∈R，则成立的一个充分必要条件是（ ）
A．a＞b＞0
B．b＞a
C．a＜b＜0
D．ab（a-b）＜0

7. 难度：中等

已知实数x，y满足，则z=2x-3y的最大值是（ ）
A．-6
B．-1
C．4
D．6

8. 难度：中等

如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是（ ）
A．ab＞ac
B．c（b-a）＞0
C．cb²＜ab²
D．ac（a-c）＜0

9. 难度：中等

已知x＜，则函数y=2x+的最大值是（ ）
A．2
B．1
C．-1
D．-2

10. 难度：中等

二次方程x²+（a²+1）x+a-2=0，有一个根比1大，另一个根比-1小，则a的取值范围是（ ）
A．-3＜a＜1
B．-2＜a＜0
C．-1＜a＜0
D．0＜a＜2

11. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A=，b=1，△ABC的面积为，则a的值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．

12. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是等比数列，其公比q≠1，且b_i＞0（i=1，2，3，…），若a₁=b₁，a₁₁=b₁₁，则（ ）
A．a₆=b₆
B．a₆＞b₆
C．a₆＜b₆
D．a₆＞b₆或a₆＜b₆

二、填空题

13. 难度：中等

命题“对∀x∈R，x³-x²+1＜0”的否定是    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和（n∈N₊），则a_n=    ．

15. 难度：中等

如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为    海里/小时．

16. 难度：中等

设a＞0，a≠1，函数有最大值，则不等式log_a（x²-5x+7）＞0的解集为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设不等式x²-x＜0的解集是M，a，b∈M．试比较ab+1与a+b的大小．

18. 难度：中等

已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）求数列{2^a_n}的前n项和S_n．

19. 难度：中等

证明不等式：a⁴+b⁴+c⁴≥a²b²+b²c²+c²a²≥abc（a+b+c）

20. 难度：中等

已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且a²+c²-b²=ac．
（Ⅰ）求角B的大小；      （Ⅱ）若c=3a，求tanA的值．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=5且且n∈N^*）．
（I）证明：数列为等差数列；
（II）求数列{a_n-1}的前n项和S_n．

22. 难度：中等

某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）．现已知此商品每件售价为500元，且该厂年内生产此商品能全部销售完．
（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？