2012-2013学年四川省泸州市古蔺中学高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知两定点F₁（5，0），F₂（-5，0），曲线上的点P到F₁、F₂的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

方程x²+（a+2）y²+2ax+a=0表示一个圆，则（ ）
A．a=-1
B．a=2
C．a=-2
D．a=1

3. 难度：中等

已知=（2，-1，3），=（7，5，λ），若⊥，则实数λ等于（ ）
A．-3
B．3
C．4
D．-2

4. 难度：中等

设θ∈，则关于x，y的方程-=1所表示的曲线为（ ）
A．实轴在y轴上的双曲线
B．实轴在x轴上的双曲线
C．长轴在y轴上的椭圆
D．长轴在x轴上的椭圆

5. 难度：中等

直线l把圆x²+y²-4y=0的面积平分，则它被这个圆截得的弦长为（ ）
A．8
B．
C．2
D．4

6. 难度：中等

已知，，是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（ ）
A．2，-，+2
B．2，-，+2
C．，2，-
D．，+，-

7. 难度：中等

如图：在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为A₁C₁与B₁D₁的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

三棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角三角形）如图所示，则这个三棱柱的全面积等于（ ）

A．
B．
C．
D．4

9. 难度：中等

以为渐近线，一个焦点是F（0，2）的双曲线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．2

11. 难度：中等

若圆x²+y²-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知椭圆的两焦点分别为F₁、F₂，点P是以F₁F₂为直径的圆与椭圆的交点，若∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，则椭圆离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知 A（3，1，2），B（4，-2，-2），则 =    ．

14. 难度：中等

已知动点P到定点（2，0）的距离和它到定直线l：x=-2的距离相等，则点P的轨迹方程为    ．

15. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AB=BC=CA=a，，则AB′与侧面AC′所成角的大小为    ．

16. 难度：中等

下列命题
①若两直线平行，则两直线斜率相等．
②动点M至两定点A，B的距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）．则动点M的轨迹是圆．
③若椭圆的离心率e=，则b=c（c为半焦距）．
④双曲线的焦点到渐近线的距离为b．
⑤方程mx²+ny²=1表示的曲线可以是直线、圆、椭圆、双曲线．
其中正确命题的序号是    ．（写出所有正确命题的序号）

三、解答题

17. 难度：中等

动点M在曲线x²+y²=1上移动，M和定点B（3，0）连线的中点为P，求P点的轨迹方程．

18. 难度：中等

如图空间四边形ABCD中，AC=4，BD=2，E，F分别是BC和AD的中点．
（1）若EF=，求AC与BD所成角的余弦值．
（2）若AC=AB=AD，BD=BC=CD，求三棱锥A-BCD的侧面积．

19. 难度：中等

已知圆心为C的圆经过点A（-1，1）和B（-2，-2），且圆心在直线l：x+y-1=0上
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线kx-y+5=0被圆C截得的弦长为8，求k的取值．

20. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F₂（3，0），离心率为e=．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线经过点P（1，2），与椭圆相交于A，B两点，AB的中点为M，求M的轨迹方程．

21. 难度：中等

如图，在四棱锥S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD．底面ABCD为矩形，，SA=SD=a．
（1）求证：CD⊥SA；
（2）求二面角S-AC-D的余弦值．
（3）设E为SB的中点，求点B到平面ACE的距离．

22. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，点P到两点的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于A，B两点．
（1）写出C的方程；
（2）若，求k的值；
（3）若点A在第一象限，证明：当k＞0时，恒有．