Question

如图空间四边形ABCD中，AC=4，BD=2，E，F分别是BC和AD的中点．
（1）若EF=，求AC与BD所成角的余弦值．
（2）若AC=AB=AD，BD=BC=CD，求三棱锥A-BCD的侧面积．

Answer

（1）取CD中点G，连接EG，FG，由题设知∠EGF是AC与BD所成角或所成角的补角，再由余弦定理能求出AC与BD所成角的余弦值．
（2）由AC=AB=AD=4，BD=BC=CD=2，知△ABC≌△ACD≌△ABD，故三棱锥A-BCD的侧面积S=3S△ABC，由此能求出结果．
【解析】
（1）取CD中点G，连接EG，FG，
∵AC=4，BD=2，E，F分别是BC和AD的中点，
∴EG∥BD，且EG==1，
FG∥AC，且FG==2，
∴∠EGF是AC与BD所成角或所成角的补角，
设AC与BD所成角为θ，
∵EF=，
∴由余弦定理，得cosθ=|cos∠EGF|=||=．
故AC与BD所成角的余弦值为．
（2）∵AC=AB=AD=4，BD=BC=CD=2，
∴△ABC≌△ACD≌△ABD，
∵AB=AC=4，BC=2，∴△ABC中BC边上的高h=，
∴三棱锥A-BCD的侧面积S=3S△ABC=3×=3．