2012-2013学年江苏省南京市高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知U=R，A={x|-1≤x＜0}，则∁_UA=    ．

2. 难度：中等

“x²=x+2”是“”的    条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”）．

3. 难度：中等

函数的定义域是    ．

4. 难度：中等

函数y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则ω=    ．

5. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差d不为0，且a₁，a₃，a₇成等比数列，则=    ．

6. 难度：中等

当函数y=sinx-cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=    ．

7. 难度：中等

已知实数x，y满足x+y=1，则x²+y²的最小值是    ．

8. 难度：中等

设P、A、B、C是球O表面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直，PA=1，PB=，PC=3，则球O的体积为    ．

9. 难度：中等

已知函数是奇函数，且f（a²-2a）＞f（3），则实数a的取值范围是    ．

10. 难度：中等

已知=    ．

11. 难度：中等

正项等比数列{a_n}中，若1≤a₂≤2，2≤a₃≤3，则a₅的取值范围是    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，AB=2，BC=4，∠B=60°，设O是△ABC的内心，若，则=    ．

13. 难度：中等

已知a，b，c∈（0，+∞），满足abc（a+b+c）=1，S=（a+c）（b+c），当S取最小值时，c的最大值为    ．

14. 难度：中等

已知各项均为正数的两个数列{a_n}，{b_n}，由下表给出：

n	1	2	3	4	5
an	1	5	3	1	2
bn	1	6	2	x	y

定义数列{c_n}：，并规定数列{a_n}，{b_n}的“并和”为S_ab=a₁+a₂+…+a₅+c₅，若S_ab=15，则y的最小值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在锐角三角形ABC中，，
（1）求tanB的值；
（2）若，求实数m的值．

16. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D在棱BC上，AD⊥C₁D，
（1）设点M是棱BB₁的中点，求证：平面AMC₁⊥平面AA₁C₁C；
（2）设点E是B₁C₁的中点，过A₁E作平面α交平面ADC₁于l，求证：A₁E∥l．

17. 难度：中等

某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．
（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f（n），试写出f（n）的表达式；
（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=2（x²-2ax）lnx-x²+4ax+1，
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程（e是自然对数的底数）；
（2）求函数f（x）的单调区间．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，且a₂=6．
（1）设，求数列{b_n}的通项公式；
（2）设，c为非零常数，若数列{u_n}是等差数列，记，S_n=c₁+c₂+…+c_n，求S_n．

20. 难度：中等

设f（x）=e^x-a（x+1）．
（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值；
（2）设是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；
（3）是否存在正整数a．使得对一切正整数n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，请说明理由．