2012-2013学年湖南省高三（上）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设复数z₁=1+i，z₂=2+bi，若为实数，则实数b=（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

2. 难度：中等

对于函数f（x）=sinx+cosx，下列命题中正确的是（ ）
A．∀x∈R，f（x）=2
B．∃x∈R，f（x）=2
C．∀x∈R，f（x）＞2
D．∃x∈R，f（x）＞2

3. 难度：中等

下列命题正确的是（ ）
A．函数y=sinx在区间（0，π）内单调递增
B．函数y=tanx的图象是关于直线成轴对称的图形
C．函数y=cos⁴x-sin⁴x的最小正周期为2π
D．函数的图象是关于点成中心对称的图形

4. 难度：中等

已知a＞0，函数f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

5. 难度：中等

设f（x）=cosx-sinx把y=f（x）的图象向左平移φ个单位后，恰好得到函数y=f′（x）的图象，则φ的值可以为（ ）
A．
B．
C．π
D．

6. 难度：中等

已知向量，的夹角为，且，||=2，在△ABC中，，D为BC边的中点，则=（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

7. 难度：中等

设函数f（x）=x³+x²+tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′（1）的取值范围是（ ）
A．[-2，2]
B．[，]
C．[，2]
D．[，2]

8. 难度：中等

已知A，B，C是平面上不共线的三点，o为平面ABC内任一点，动点P满足等式且λ≠1，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．内心
B．垂心
C．重心
D．外心

二、填空题

9. 难度：中等

已知集合{a，b，c}，则集合A的子集的个数为    ．

10. 难度：中等

函数f（x）=ln（x²-2x）的单调递增区间是    ．

11. 难度：中等

由曲线以及x轴所围成的面积为    ．

12. 难度：中等

已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜1 （x∈R），则不等式f（x³）＞x³+1的解集为    ．

13. 难度：中等

不等式|x|≥a（x+1）对任意的实数x都成立，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

对于任意实数，[x]表示的整数部分，即[x]是不超过的最大整数．这个函数[x]叫做“取整函数”，则[lg1]+[lg2]+[lg3]+…[lg2011]=    ．

15. 难度：中等

有以下四个命题：
①在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件；
②不等式的解集为{x|x＜-5}；
③∀x∈[0，π]，|sinx|=sinx；
④y=sinx在第一象限单调递增；
其中真命题有    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量=（a，b），=（sinB，sinA），=（b-2，a-2）．
（1）若∥，试判断△ABC的形状并证明；
（2）若⊥，边长c=2，∠C=，求△ABC的面积．

17. 难度：中等

设函数f（x）=sin（2π+ϕ）（-π＜ϕ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线．
（Ⅰ）求ϕ；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）证明直线5x-2y+c=0与函数y=f（x）的图象不相切．

18. 难度：中等

已知函f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示：
（1）求ω，φ的值；
（2）设g（x）=2f（）f（）-1，当x∈[0，]时，求函数g（x）的值域．

19. 难度：中等

已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=
（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千年时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）

20. 难度：中等

设函数f（x）=-x（x-a）²（x∈R），其中a∈R．
（I） 当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（II）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（Ⅲ）当a＞3时，在区间[-1，0]上是否存在实数k使不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意的x∈R恒成立，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若函数在区间（其中a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）求证．．