2012-2013学年四川省成都市树德中学高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

以下角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角；可能为钝角的有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

2. 难度：中等

某型号儿童蛋糕上半部分是半球，下半部分是圆锥，三视图如图，则该型号蛋糕的表面积S=（ ）

A．115π
B．110π
C．105π
D．100π

3. 难度：中等

一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知两不同直线m，n与三不同平面α，β，γ，下列条件能推出α∥β的是（ ）
A．α⊥γ且β⊥γ
B．m⊂α，n⊂β，m∥n
C．m⊥α 且m⊥β
D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β

5. 难度：中等

下面四个说法中，正确的个数为（ ）
①三点确定一个平面；
②△ABC在平面α外，其三边延长线分别和α交于P，Q，R，则P，Q，R一定共线；
③一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等；
④在三维空间中，三个平面最多把空间分成八部分．
A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=BB₁，则CA₁与C₁B所成的角的大小是（ ）
A．60°
B．75°
C．90°
D．105°

7. 难度：中等

如图，空间四边形ABCD的对角线AC，BD相等，顺次连接各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH一定是（ ）

A．矩形
B．正方形
C．菱形
D．空间四边形

8. 难度：中等

PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

异面直线a，b所成角为，直线c⊥a，且c也与b异面，则直线b与c所成的角的范围为（ ）
A．[，]
B．[，]
C．[，]
D．[，]

10. 难度：中等

有一个长方体容器ABCD-A₁B₁C₁D₁，装的水占恰好占其容积的一半；α表示水平的桌面，容器一边BC紧贴桌面，沿BC将其翻转使之略微倾斜，最后水面（阴影部分）与其各侧棱的交点分别是EFGH（如图），则下列对翻转后水形成的几何体形状说法正确的是（ ）

A．棱台
B．棱柱
C．棱锥
D．和容器尺寸有关，不能确定

11. 难度：中等

如图，矩形ABCD的长AB=2，宽AD=x，若PA⊥平面ABCD，矩形的边CD上至少有一个点Q，使得PQ⊥BQ，则x的范围是（ ）

A．0＜x≤1
B．0＜x≤2
C．1＜x≤2
D．x≥1

12. 难度：中等

我们知道，在平面直角坐标系中，方程+=1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴，y轴上的截距分别为a，b”；类比到空间直角坐标系中，方程++z=1表示的点集对应的图形也具有某特定性质，设此图形为α，则坐标原点到α的距离是（ ）
A．3
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

△ABC所在平面α外一点P满足PA=PB=PC，则P在平面α上的射影必为△ABC的    心．

14. 难度：中等

如图，平面直角坐标系中，A（，2），B（-，-），将其所在纸面沿x轴折成直二面角，则折起后的A，B两点的距离是    ．

15. 难度：中等

球放在墙角（两墙面，地面分别两两垂直），紧靠墙面和底面，球心到墙角顶点的距离是，则球的体积是    ．（半径为R的球体积公式：V=πR³）

16. 难度：中等

关于图中的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，下列说法正确的有：    ．
①P点在线段BD上运动，棱锥P-AB₁D₁体积不变；
②一个平面α截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形；
③一个平面α截此正方体，如果截面是四边形，则此四边形必有一边平行；
④平面α截正方体得到一个六边形（如图），则截面α在平面AB₁D₁与平面BDC₁间平行移动时此六边形周长先增大，后减小．

三、解答题

17. 难度：中等

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，其左视图沿AB方向投影，左视图如图．
（1）证明：AC₁⊥B₁C；
（2）当AC₁长为时，求多面体B₁-ABC₁D₁的体积．

18. 难度：中等

两个边长均为3的正方形ABCD和ABEF所在平面垂直相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN．
（1）证明：MN∥平面BCE；
（2）当AM=FN=  时，求MN的长度．

19. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．
（1）证明：△PBC是直角三角形；
（2）若PA=AB=2，且当直线PC与平面ABC所成角正切值为时，直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

20. 难度：中等

点O是边长为4的正方形ABCD的中心，点E，F分别是AD，BC的中点．沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角D-AC-B
（1）求∠EOF的大小；
（2）求二面角E-OF-A的余弦值．

21. 难度：中等

随着环保理念的深入，用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行．如图是其中一个抽象派雕塑的设计图．图中α表示水平地面．线段AB表示的钢管固定在α上；为了美感，需在焊接时保证：线段AC表示的钢管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD与AC异面．若收集到的余料长度如下：AC=BD=24（单位长度），AB=7，CD=25，按现在手中的材料和设计要求，求BD与α应成的角．

22. 难度：中等

一块边长为10的正方形纸片，按如图所示将阴影部分裁下，然后将余下的四个全等的等腰三角形作为侧面制作一个正四棱锥S-ABCD（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥）．
（1）过此棱锥的高以及一底边中点F作棱锥的截面（如图），设截面三角形面积为y，将y表为x的函数；
（2）求y的最大值及此时x的值；
（3）在第（2）问的条件下，设F是CD的中点，问是否存在这样的动点P，它在此棱锥的表面（包含底面ABCD）运动，且FP⊥AC．如果存在，在图中画出其轨迹并计算轨迹的长度，如果不存在，说明理由．