2012-2013学年江苏省苏州市木渎高级中学天华学校高三（上）12月月考数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

函数y=sinπxcosπx的最小正周期是    ．

2. 难度：中等

曲线y=2x-lnx在点（1，2）处的切线方程是    ．

3. 难度：中等

若实数x，y满足则z=x+2y的最大值是    ．

4. 难度：中等

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，O为底面正方形ABCD的中心，则三棱锥B₁-BCO的体积为    ．

5. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₃=，S₃=，则a₁的值为    ．

6. 难度：中等

如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为DC的中点，AE与BD交于点F．则=    ．

7. 难度：中等

已知，且0°＜α＜90°，则cosα的值为    ．

8. 难度：中等

已知A，B，F分别是椭圆的上、下顶点和右焦点，直线AF与椭圆的右准线交于点M，若直线MB∥x轴，则该椭圆的离心率e=    ．

9. 难度：中等

设点P（x，y）是函数y=tanx与y=-x（x＞0）的图象的一个交点，则（x²+1）（cos2x+1）=    ．

10. 难度：中等

在平面直角坐标系中，若符合点A（1，2），B（m，1）到直线l的距离分别为1，2的直线有且仅有2条，则实数m的取值范围是    ．

11. 难度：中等

若不等式对于任意正实数x，y总成立的必要不充分条件是k∈[m，+∞），则正整数m只能取     ．

12. 难度：中等

已知m≥1，n≥1，且，（a＞1），则log_a（mn）的最大值为    ．

13. 难度：中等

已知等差数列{a_n}首项为a，公差为b，等比数列{b_n}首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a₁＜b₁，b₂＜a₃，对于任意的n∈N^*，总存在m∈N^*，使得a_m+3=b_n成立，则a_n=    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=||x-1|-1|，若关于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有四个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁x₂x₃x₄的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．

16. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，AB=BC=1，DC=2，点E在PB上．
（1）求证：平面AEC⊥平面PAD；
（2）当PD∥平面AEC时，求PE：EB的值．

17. 难度：中等

如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）
（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；
（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．

18. 难度：中等

已知⊙O：x²+y²=1和点M（4，2）．
（Ⅰ）过点M向⊙O引切线l，求直线l的方程；
（Ⅱ）求以点M为圆心，且被直线y=2x-1截得的弦长为4的⊙M的方程；
（Ⅲ）设P为（Ⅱ）中⊙M上任一点，过点P向⊙O引切线，切点为Q．试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x（x-a）²，g（x）=-x²+（a-1）x+a（其中a为常数）；
（1）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求a的值；
（2）设a＞0，问是否存在，使得f（x）＞g（x），若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）记函数H（x）=[f（x）-1]•[g（x）-1]，若函数y=H（x）有5个不同的零点，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

已知各项均为整数的数列{a_n}满足：a₉=-1，a₁₃=4，且前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若存在正整数m、p使得：a_m+a_m+1+…+a_m+p=a_ma_m+1…a_m+p，请找出所有的有序数对（m，p），并证明你的结论．

21. 难度：中等

【选做题】（1）已知矩阵，向量．求向量α，使得A²α=β．
（2）椭圆中心在原点，离心率为，点P（x，y）是椭圆上的点，若的最大值为10，求椭圆的标准方程．

22. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，，M是棱CC₁的中点，
（1）求证：A₁B⊥AM；
（2）求直线AM与平面AA₁B₁B所成角的正弦值．

23. 难度：中等

假设位于正四面体ABCD顶点处的一只小虫，沿着正四面体的棱随机地在顶点间爬行，记小虫沿棱从一个顶点爬到另一个顶点为一次爬行，小虫第一次爬行由A等可能地爬向B、C、D中的任意一点，每二次爬行又由其所在顶点等可能地爬向其它三点中的任意一点，如此一直爬下去，记第n（n∈N^*）次爬行小虫位于顶点A处的概率为p_n．
（1）求p₁，p₂，p₃的值，并写出p_n的表达式（不要求证明）；
（2）设，试求S_n（用含n的式子表示）．