2012-2013学年江苏省南通市通州区平潮高中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若直线l⊂平面α，点A∉α，点B∈α，B∉l，则直线AB与l的位置关系是    ．

2. 难度：中等

三个平面最多可以将空间分为    部分．

3. 难度：中等

已知椭圆，焦点在y轴上，若焦距等于4，则实数k=    ．

4. 难度：中等

过点P（2，1）能作    条直线与圆x²+y²-8x-2y-13=0相切．

5. 难度：中等

已知向量知=（0，-1，1），=（4，1，0），|λ+|=，且λ＞0，则λ=    ．

6. 难度：中等

若点P（2，-1）为圆（x-1）²+y²=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是     ．

7. 难度：中等

已知圆Mx²+y²=4，圆N：（x-1）²+（y-1）²=r²，当两圆相切时，r=    ．

8. 难度：中等

下列四个条件：
①x，y，z均为直线；               
②x，y是直线，z是平面；
③x是直线y，z是平面；           
④z，x，y均为平面．
其中，能使命题“x⊥y，y∥z⇒x⊥z”成立的有    ．

9. 难度：中等

在棱长为1的正四面体ABCD中，E是BC的中点，则=    ．

10. 难度：中等

若直线y=x+b与曲线x=有两个公共点，则实数b的取值范围为    ．

11. 难度：中等

在正方体中，E是棱A₁B₁的中点，则A₁B与D₁E所成角的余弦值为    ．

12. 难度：中等

已知圆C与直线x-y-1=0及直线x-y-7=0都相切，且圆心在直线x+y=0上，则圆c的标准方程为    ．

13. 难度：中等

在棱长为a的正方体骨架内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为    ．

14. 难度：中等

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面，AB=a，BC=m，若在线段BC上存在点E满足PE⊥ED，则a的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

如图在四棱锥P-ABCD中，侧棱PD⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，底面ABCD是菱形，
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：平面PAC⊥平面PBD．

16. 难度：中等

已知圆心为C的圆经过三个点O（0，0）、A（1，3）、B（4，0）
（1）求圆C的方程；
（2）求过点P（3，6）且被圆C截得弦长为4的直线的方程．

17. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．椭圆=1与圆C的一个交点到椭圆两点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

如图，ABCD为直角梯形，∠C=∠CDA=90°，AD=2BC=2CD，P为平面ABCD外一点，且PB⊥BD．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）若PC与CD不垂直，求证：PA≠PD；
（3）若直线l过点P，且直线l∥直线BC，试在直线l上找一点E，使得直线PC∥平面EBD．

19. 难度：中等

如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BD=，∠ABD=90°，将它们沿对角线BD折起，折后的C变为C₁，且A、C₁间的距离为2．
（1）求证：平面A C₁D⊥平面ABD；
（2）求二面角B-AC₁-D的余弦值；
（3）E为线段A C₁上的一个动点，当线段EC₁的长为多少时？DE与平面BC₁D所成的角为30°．

20. 难度：中等

设圆C₁：x²+y²-10x-6y+32=0，动圆C₂：x²+y²-2ax-2（8-a）y+4a+12=0，
（Ⅰ）求证：圆C₁、圆C₂相交于两个定点；
（Ⅱ）设点P是椭圆上的点，过点P作圆C₁的一条切线，切点为T₁，过点P作圆C₂的一条切线，切点为T₂，问：是否存在点P，使无穷多个圆C₂，满足PT₁=PT₂？如果存在，求出所有这样的点P；如果不存在，说明理由．