Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BD=，∠ABD=90°，将它们沿对角线BD折起，折后的C变为C₁，且A、C₁间的距离为2．
（1）求证：平面A C₁D⊥平面ABD；
（2）求二面角B-AC₁-D的余弦值；
（3）E为线段A C₁上的一个动点，当线段EC₁的长为多少时？DE与平面BC₁D所成的角为30°．

Answer

（1）由ABCD是平行四边形，知∠BDC1=∠ABD=90°，故AB⊥BD，C1D⊥BD，由此能够证明平面A C1D⊥平面ABD．
（2）由AB⊥BD，AB⊥C1D，知AB⊥平面BC1D，以B为原点，以平行于DC1的直线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出二面角B-AC1-D的余弦值．
（3）设，则==（1，0，0）+λ（-1，-，1）=（1-λ，-，λ），利用向量法能够推导出当E为AB的中点时，DE与平面BC1D所成的角为30°．
【解析】
（1）∵ABCD是平行四边形，
∴∠BDC1=∠ABD=90°，
∴AB⊥BD，C1D⊥BD，
∴AD=BC1=，
由C1D=1，AC1=2，得，
∴C1D⊥AD，
∴C1D⊥平面ABD，
∵C1D⊂平面AC1D，
∴平面A C1D⊥平面ABD．
（2）∵AB⊥BD，AB⊥C1D，
∴AB⊥平面BC1D，
∴以B为原点，以平行于DC1的直线为x轴，
以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，1），D（0，，0），，
∴，，
，，
设平面ABC1的法向量为，
则，，
∴，解得=（-，1，0）．
设平面ADC1的法向量，
则，，
∴，解得，
设二面角B-AC1-D的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜＞|=||=．
（3）设，
则
=
=（1，0，0）+λ（-1，-，1）
=（1-λ，-，λ），
∵平面ABC⊥平面BCD，∴是平面BCD的一个法向量，
若DE与平面BC1D所成的角为30°，
则，
∴，
∵=，
∴=，
整理，得1-2λ=0，解得．
故当E为AB的中点，即|C1E|=1时，DE与平面BC1D所成的角为30°．