2012-2013学年福建省福州市文博中学高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={-1，0，1}，N={x|x=ab，a，b∈M且a≠b}，则集合M与集合N的关系是（ ）
A．M=N
B．M⊊N
C．N⊊M
D．M∩N=∅

2. 难度：中等

已知向量和向量对应的复数分别为3+4i和2-i，则向量对应的复数为（ ）
A．5+3i
B．1+5i
C．-1-5i
D．-5-3i

3. 难度：中等

“m=”是“向量=（m+2，3m）与=（m-2，m+2）互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

把函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位后所得函数解析式为（ ）
A．y=sin2
B．y=cos2
C．y=sin（2x+）
D．y=-cos2

5. 难度：中等

现从4名男生与3名女生中选出2人担任班委，则至少有1名女生当选的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数y=xlnx在（0，5）上是（ ）
A．单调增函数
B．在（0，）上单调递增，在（，5）上单调递减
C．单调减函数
D．在（0，）上单调递减，在（，5）上单调递增．

7. 难度：中等

如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ=（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在各项均为正数的等比数列{b_n}中，若b₇•b₈=3，则log₃b₁+log₃b₂+…+log₃b₁₄等于（ ）
A．5
B．6
C．8
D．7

9. 难度：中等

设函数f（x）=x-[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，则下列结论错误的是（ ）
A．f（x）的值域为[0，1]
B．f（x）是奇函数
C．f（x）是周期函数
D．f（x）在[0，1）上是增函数

10. 难度：中等

若把函数y=lnx的图象绕原点O逆时针旋转一个α角后与y轴相切，则tanα=（ ）
A．
B．e
C．-e
D．-

二、填空题

11. 难度：中等

则f（f（2））的值为    ．

12. 难度：中等

函数y=e^x-e的图象与两坐标轴围成的封闭区域面积为    ．

13. 难度：中等

数列{a_n}的通项公式，其前n项和时S_n=9，则n等于    ．

14. 难度：中等

已知⊥，||=2，||=3，且3+2与λ-垂直，则实数λ的值为    ．

15. 难度：中等

若函数y=asin2x+cos2x的图象关于x=对称，则 a=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），记f（x）=•．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[-，]时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，求函数g（x）的最大值并指出此时x的取值．

17. 难度：中等

设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=
（I） 求△ABC的周长；
（II）求cos（A-C）的值．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和s_n=（n∈N）且a₂=2．
（1）求a₁，a₃，a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：++…+＜1．

19. 难度：中等

中央电视台《福州月SKIPIF 1＜0中华情》大型中秋晚会今年在我市海峡会展中心举行，之前甲、乙两人参加大会青年志愿者的选拔．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．
（1）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；
（2）求甲、乙两人至少有一人入选的概率．

20. 难度：中等

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．
（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为a_n万元，旅游业总收入为b_n万元．写出a_n，b_n的表达式；
（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

21. 难度：中等

已知函数f（x）=a（x-1）+lnx；
（1）若f（x）≥0在其定义域上恒成立，求a的取值所构成的集合；
（2）在函数f（x）的图象任意给定相异两点A（x₁，f（x₁））、B（x₂，f（x₂）），其中x₁＜x₂，是否总存在x∈（x₁，x₂）使得f′（x）=？请说明理由！