Question

若把函数y=lnx的图象绕原点O逆时针旋转一个α角后与y轴相切，则tanα=（ ）
A．
B．e
C．-e
D．-

Answer

设y=lnx的图象的切线的斜率为k，切点坐标为（x，y），由题意可得 k==，求得x=e．由此能求出tanθ．
【解析】
利用函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转一个α角后与y轴相切，
知函数y=lnx的一条切的倾斜角为，
设y=f（x）=lnx的图象的切线的斜率为k，设切点坐标为（x，y），
则由题意可得，切线的斜率为 k==，
∵y=lnx，
∴，
再由导数的几何意义可得 k=f′（x）=，
∴=，∴x=e．
再由α的意义可得，tanα=cot（）==x=e．
故选B．