2012-2013学年江苏省南通中学高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合A={x||x-3|≤1}，B={x|x²-5x+4≥0}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a²+b²+c²≥3”的否命题是    ．

3. 难度：中等

已知，则=    ．

4. 难度：中等

函数y=x-2lnx的单调减区间为    ．

5. 难度：中等

已知||=，||=3，和的夹角为45°，若向量（λ+）⊥（+λ），则实数λ的值为    ．

6. 难度：中等

设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），当x∈（-2，0）时，f（x）=2^x，则f（2012）-f（2013）=    ．

7. 难度：中等

，设{a_n}是正项数列，其前n项和S_n满足：4S_n=（a_n-1）（a_n+3），则数列{a_n}的通项公式a_n=    ．

8. 难度：中等

已知命题p：在x∈（-∞，0]上有意义，命题q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R．如果p和q有且仅有一个正确，则a的取值范围    ．

9. 难度：中等

设函数y=sinx（0≤x≤π）的图象为曲线C，动点A（x，y）在曲线C上，过A且平行于x轴的直线交曲线C于点B（A、B可以重合），设线段AB的长为f（x），则函数f（x）单调递增区间    ．

10. 难度：中等

当时，恒成立，则实数a的取值范围是    ．

11. 难度：中等

已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=-x+b都不是曲线y=x³-3ax的切线，则实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

设，则函数的最小值为    ．

13. 难度：中等

设实数a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，3a]，都有y∈[a，a²]满足方程log_ax+log_ay=c，这时，实数a的取值的集合为    ．

14. 难度：中等

已知函数，把函数g（x）=f（x）-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和S_n，则S₁₀=    ．

二、解答题

15. 难度：中等

设向量
（1）若与垂直，求tan（α+β）的值；
（2）求的最大值；
（3）若tanαtanβ=16，求证：∥．

16. 难度：中等

已知函数f（log_ax）=，其中a＞0且a≠1．
（1）求函数f（x）的解析式，并判断其奇偶性和单调性；
（2）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m²）＜0，求实数m的取值范围；
（3）当x∈（-∞，2）时，f（x）-6的值恒为负数，求函数a的取值范围．

17. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2-a_n，n=1，2，3，…．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n，求数列{b_n}的通项公式；
（3）设c_n=n （3-b_n），求数列{c_n}的前n项和为T_n．

18. 难度：中等

某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，DE，DF是两根支杆，其中AB=2米，∠EOA=∠FOB=2x（0＜x＜）．现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k（k＞0），假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．
（1）试将y表示为x的函数；
（2）试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-2x²+3x（x∈R）的图象为曲线C．
（1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；
（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围；
（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}，{b_n}满足b_n=a_n+1-a_n，其中n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若a₁=1，b_n=n，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．
（ⅰ）记c_n=a_6n-1（n≥1），求证：数列{c_n}为等差数列；
（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a₁应满足的条件．

21. 难度：中等

自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小．

22. 难度：中等

如图，已知OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是线段OA上一点，直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交直线OA于点E，求证：∠OBP+∠AQE=45°．

23. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图：⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．
（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由
（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．

24. 难度：中等

某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是______．（用数字作答）

25. 难度：中等

理科附加题：
已知展开式的各项依次记为a₁（x），a₂（x），a₃（x），…a_n（x），a_n+1（x）．
设F（x）=a₁（x）+2a₂（x）+3a₃（x），…+na_n（x）+（n+1）a_n+1（x）．
（Ⅰ）若a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系数依次成等差数列，求n的值；
（Ⅱ）求证：对任意x₁，x₂∈[0，2]，恒有|F（x₁）-F（x₂）|≤2^n-1（n+2）．