2012-2013学年江苏省南京市高三（上）期中数学模拟试卷（三）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

集合A={x|0＜x≤3，x∈R}，B={x|-1≤x≤2，x∈R}，则A∪B=    ．

2. 难度：中等

已知z∈C，且（z+2）（1+i）=2i，则z=    ．

3. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₅=3，a₆=-2，则a₃+a₄+…+a₈=    ．

4. 难度：中等

已知．若，则与夹角的大小为     ．

5. 难度：中等

设函数，那么f^-1（10）=    ．

6. 难度：中等

已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm²，则此圆锥的体积为    cm³．

7. 难度：中等

已知椭圆的左焦点是F₁，右焦点是F₂，点P在椭圆上，如果线段PF₁的中点在y轴上，那么|PF₁|：|PF₂|=    ．

8. 难度：中等

曲线的长度是    ．

9. 难度：中等

一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘．若每敲1次在屏幕上出现一个字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey”的概率为    （结果用数值表示）．

10. 难度：中等

如果执行如图的程序框图，那么输出的s是    ．

11. 难度：中等

设a，b∈R，a²+2b²=6，则的最大值是    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-|x|，若，则实数m的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知对于任意实数x，函数f （x）满足f²（-x）=f²（x），若方程f（x）=0有2009个实数解，则这2009个实数解之和为    ．

14. 难度：中等

若α为第二象限角，则=    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化．现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数f（n）可近似地用函数f（n）=100•（Acos（ωn+2）+k）来刻画．其中：正整数n表示月份且n∈[1，12]，例如n=1时表示1月份；A和k是正整数；ω＞0．统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：
①各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；
②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；
③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的f（n）（2）的表达式；
（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”．那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．

16. 难度：中等

如图已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AC=BC，M，N，P，Q分别是AA₁，BB₁，AB，B₁C₁的中点，
（1）求证：面PCC₁⊥面MNQ；
（2）求证：PC₁∥面MNQ．

17. 难度：中等

某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．
（1）设半圆的半径OA=r（米），试建立塑胶跑道面积S与r的函数关系S（r）
（2）由于条件限制r∈[30，40]，问当r取何值时，运动场造价最低？（精确到元）

18. 难度：中等

过直角坐标平面xOy中的抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A、B两点．
（1）用p表示A，B之间的距离；
（2）证明：∠AOB的大小是与p无关的定值，并求出这个值．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=-3n+21），其中λ为实数，n为正整数．S_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）对任意实数λ，证明：数列{a_n}不是等比数列；
（2）对于给定的实数λ，试求数列{b_n}的通项公式，并求S_n．
（3）设0＜a＜b（a，b为给定的实常数），是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

（1）已知：，求函数f（x）的单调区间和值域；
（2）a≥1，函数g（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]，判断函数g（x）的单调性并予以证明；
（3）当a≥1时，上述（1）、（2）小题中的函数f（x）、g（x），若对任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求a的取值范围．