2012-2013学年北京四中高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|x（x-3）＜0}，N={x||x|＜2}，则M∩N=（ ）
A．（-2，0）
B．（0，2）
C．（2，3）
D．（-2，3）

2. 难度：中等

函数的定义域为（ ）
A．[-4，1]
B．[-4，0）
C．（0，1]
D．[-4，0）∪（0，1]

3. 难度：中等

下列命题中是假命题的是（ ）
A．∀Φ∈R，函数f（x）=sin（2x+Φ）都不是偶函数
B．∀a＞0，f（x）=lnx-a有零点
C．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+sinβ
D．∃m∈R，使f（x）=（m-1）x，且在（0，+∞）上递减

4. 难度：中等

边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A．90°
B．120°
C．135°
D．150°

5. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+n，若利用如图所示的种序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ）
A．n≤8？
B．n≤9？
C．n≤10？
D．n≤11？

6. 难度：中等

已知函数f（x）=（x-a）（x-b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a^x+b^x的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（ ）
A．
B．1
C．2
D．

8. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[1，3]时，f（x）=2-|x-2|，则（ ）
A．
B．f（sin1）＞f（cos1）
C．f（tan3）＜f（tan6）
D．f（sin2）＜f（cos2）

二、填空题

9. 难度：中等

设i为虚数单位，则1+i+i²+i³+i⁴+i⁵+i⁶=    ．

10. 难度：中等

等比数列{a_n}中，若log₂（a₂a₉₈）=4，则a₄₀a₆₀等于    ．

11. 难度：中等

已知x，y满足，且目标函数z=3x+y的最小值是5，则z的最大值为    ．

12. 难度：中等

数f（x）为奇函数，=    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=cosxsinx（x∈R），给出下列四个命题：其中真命题是     ．
①若f（x₁）=-f（x₂），则x₁=-x₂；
②f（x）的最小正周期是2π；
③在区间[-，]上是增函数；
④f（x）的图象关于直线x=对称．

14. 难度：中等

定义一种运算令，且x∈，则函数的最大值是     ．

三、解答题

15. 难度：中等

 如图，在平面直角坐标系xOy中，以x为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为，．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求2α+β的值．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2．
（1）求f（x）函数图象的对称轴方程；
（2）求f（x）的单调增区间．
（3）当时，求函数f（x）的最大值，最小值．

17. 难度：中等

设等差数列{a_n}的首项a₁及公差d都为整数，前n项和为S_n．
（Ⅰ）若a₁₁=0，S₁₄=98，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a₁≥6，a₁₁＞0，S₁₄≤77，求所有可能的数列{a_n}的通项公式．

18. 难度：中等

已知函数（a∈R）．
（1）若a=3，试确定函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在其图象上任意一点（x，f（x））处切线的斜率都小于2a²，求实数a的取值范围．
（3）若∃x∈[0，2]，f（x）＜0，求a的取值范围．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=g^x-x （g为自然对数的底数）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）设不等式f（x）＞ax的解集为P，若M={x|}，且M∩P≠∅，求实数a的取值范围；
（3）已知n∈N⁺，且S，是否存在等差数列{a_n}和首项为f（1）公比大于0的等比数列{b_n}，使得？若存在，请求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式．若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线上，且=．
（Ⅰ）求x₁+x₂的值及y₁+y₂的值
（Ⅱ）已知S₁=0，当n≥2时，S_n=+++，求S_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设a_n=，T_n为数列{a_n}的前n项和，若存在正整数c、m，使得不等式成立，求c和m的值．