2012-2013学年上海市同济大学二附中高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

不等式的解集是    ．

2. 难度：中等

若，则cos2θ=    ．

3. 难度：中等

已知圆锥的底面半径为2，母线长为6，则圆锥的侧面展开图的圆心角度数为    ．

4. 难度：中等

已知向量，若，则实数n=    ．

5. 难度：中等

函数y=的反函数是    ．

6. 难度：中等

方程的解为    ．

7. 难度：中等

若由命题A：“”能推出命题B：“x＞a”，则a的取值范围是    ．

8. 难度：中等

已知z∈C，且（i为虚数单位），则=    ．

9. 难度：中等

已知A、B依次是双曲线的左、右焦点，C是双曲线E右支上的一点，则在△ABC中，=    ．

10. 难度：中等

某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的世博宣传广告，则最后播放的是世博宣传广告，且2个世博宣传广告不连续播放的方法有    种．（用数字作答）

11. 难度：中等

顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD-ABCD中，AB=1，，则A、C两点的球面距离为    ．

12. 难度：中等

执行下边的程序框图，若p=0.8，则输出的n=    ．

13. 难度：中等

已知不相等的实数m、n分别满足：m²-2010m+2011=0和n²-2010n+2011=0，则=    ．

14. 难度：中等

已知集合A={x|x²+25+|x³-5x²|≤ax，x∈R}，B={x|x²-13x+12≤0}，若A∩B≠ϕ．则实数a的取值范围为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

“”是“对任意的正数x，均有”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件

16. 难度：中等

设x＞0，若（1-x）¹⁰展开式的第三项为20，则的值是（ ）
A．
B．2
C．1
D．

17. 难度：中等

若椭圆与双曲线x²-y²=1有相同的焦点，且过抛物线y²=8x的焦点，则该椭圆的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）单调递减，若x₁+x₂＞0，则f（x₁）+f（x₂）的值（ ）
A．恒为负值
B．恒等于零
C．恒为正值
D．无法确定正负

三、解答题

19. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知tanC=，c=，又△ABC的面积为S_△ABC=，求a+b的值．

20. 难度：中等

在正四棱锥P-ABCD中（如图），若异面直线PA与BC所成角的正切值为2，底面边长AB=4．
（1）求侧棱与底面ABCD所成角的大小．
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

21. 难度：中等

某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）
（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；
（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？

22. 难度：中等

在直角坐标系中，动点M到点的距离等于点M到直线的距离的倍，记动点M的轨迹为W，过点A（a，0）（a＞0）作一条斜率为k（k＜0）的直线交曲线W于B，C两点，且交y轴于点D．
（1）求动点M的轨迹，并指出它的三条性质或特征；
（2）求证：|AB|=|CD|；
（3）若|BC|=|BD|，求△OAD的面积．（O为坐标原点）

23. 难度：中等

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ为实数，n为正整数．
（Ⅰ）证明：对任意实数λ，数列{a_n}不是等比数列；
（Ⅱ）证明：当λ≠-18时，数列{b_n}是等比数列．