2012-2013学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知复数z满足z•（1-i）=2，其中i为虚数单位，则z=    ．

2. 难度：中等

已知点A（-1，-5）和=（2，3），若=3，则点B的坐标为    ．

3. 难度：中等

已知等比数列{a_n}满足a₁•a₇=3a₃a₄，则数列{a_n}的公比q=    ．

4. 难度：中等

若cos（2π-α）=，且α∈（-，0），则sin（π-α）=    ．

5. 难度：中等

已知两个平面α，β，直线l⊥α，直线m⊂β，有下面四个命题：
①α∥β⇒l⊥m； ②α⊥β⇒l∥m； ③l⊥m⇒α∥β；④l∥m⇒α⊥β．
其中正确的命题是    ．

6. 难度：中等

设x，y满足，则z=x+y的最小值为    ．

7. 难度：中等

已知函数，则的值为    ．

8. 难度：中等

已知命题p：|5x-2|＜3，命题q：，则p是q的    条件．（ 在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”、“充要”选择并进行填空）

9. 难度：中等

△ABC中，，，，则=    ．

10. 难度：中等

已知关于x的不等式ax-b＜0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解集是    ．

11. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的首项是1，公比为2，等差数列{b_n}的首项是1，公差为1，把{b_n}中的各项按照如下规则依次插入到{a_n}的每相邻两项之间，构成新数列{c_n}：a₁，b₁，a₂，b₂，b₃，a₃，b₄，b₅，b₆，a₄，…，即在a_n和a_n+1两项之间依次插入{b_n}中n个项，则c₂₀₁₃=    ．

12. 难度：中等

△ABC内接于以O为圆心半径为1的圆，且，则△ABC的面积S=    ．

13. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，若a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…对n∈N^*恒成立，则实数t的取值范围是    ．

14. 难度：中等

设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知，B={x|x²-2x+1-m²≤0，m＞0}，
（1）若m=2，求A∩B；
（2）若A∪B=B，求实数m的取值范围．

16. 难度：中等

△ABC中，AC=3，三个内角A，B，C成等差数列．
（1）若，求AB；
（2）求的最大值．

17. 难度：中等

如图，四边形ABCD为正方形，在四边形ADPQ中，PD∥QA．又QA⊥平面ABCD，．
（1）证明：PQ⊥平面DCQ；
（2）CP上是否存在一点R，使QR∥平面ABCD，若存在，请求出R的位置，若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

某啤酒厂为适应市场需要，2011年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生产量为16000吨，葡萄酒生产量1000吨．该厂计划从2012年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，试问：
（1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？
（2）从2011年起（包括2011年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的？（生产总量是指各年年产量之和）

19. 难度：中等

已知函数，且f（1）=1，f（-2）=4．
（1）求a、b的值；
（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜-1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；
（3）当x∈[1，2]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

设数列{a_n}，对任意n∈N^*都有（kn+b）（a₁+a_n）+p=2（a₁+a₂…+a_n），（其中k、b、p是常数）．
（1）当k=0，b=3，p=-4时，求a₁+a₂+a₃+…+a_n；
（2）当k=1，b=0，p=0时，若a₃=3，a₉=15，求数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{a_n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S_n是数列{a_n}的前n项和，a₂-a₁=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a_n}，使得对任意n∈N^*，都有S_n≠0，且．若存在，求数列{a_n}的首项a₁的所有取值；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知圆的极坐标方程为：，将此方程化为直角坐标方程，并求圆心的极坐标．

22. 难度：中等

如图所示，ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，已知AB=3，AD=4，AA₁=2，M是棱A₁D₁的中点，求直线AM与平面BB₁D₁D所成角的正弦值．

23. 难度：中等

袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机地抽取4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分．
（1）求得分X不大于6的概率；
（2）求得分X的数学期望．

24. 难度：中等

设函数f（x）=x-sinx，数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）．
（1）若a₁=2，试比较a₂与a₃的大小；
（2）若0＜a₁＜1，求证：0＜a_n＜1对任意n∈N^*恒成立．