Question

某啤酒厂为适应市场需要，2011年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生产量为16000吨，葡萄酒生产量1000吨．该厂计划从2012年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，试问：
（1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？
（2）从2011年起（包括2011年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的？（生产总量是指各年年产量之和）

Answer

（1）利用该厂计划从2012年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，可得该厂第n年啤酒和葡萄酒年生产量，进而可得啤酒与葡萄酒的年生产量之和，利用基本不等式，可求最值；
（2）利用葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的，建立不等式，即可求得结论．
【解析】
设从2011年起，该厂第n年啤酒和葡萄酒年生产量分别为an吨和bn吨，经过n年后啤酒和葡萄酒各年生产量的总量分别为An吨和Bn吨．
（1）设第n年啤酒和葡萄酒生产的年生产量为Dn吨，依题意，=，=500×2n，（n∈N*），（4分）
则Dn=an+bn=+500×2n=，
当且仅当，即n=3时取等号，
故2013年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低，为8000吨．（7分）
（2）依题意，，得Bn≥2An，
∵，，
∴1000（2n-1）≥，
∵2n-1＞0，∴2n≥64=26，∴n≥6，
从第6年起，葡萄酒各年生产的总量不低于啤酒各年生产总量与葡萄酒各年生产总量之和的．（15分）