2012-2013学年江苏省连云港市灌云高中高三（上）第二次质量调研暨期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合A={1，2，3}，B={0，2，3}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

设复数z满足i（z+1）=1+2i（i是虚数单位），则z=    ．

3. 难度：中等

函数的定义域是    ．

4. 难度：中等

在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为    ．

5. 难度：中等

若实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为    ．

6. 难度：中等

已知，则sin2x的值为    ．

7. 难度：中等

已知曲线f（x）=x³上点P（1，1），则在点P的切线方程为    ．

8. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁=1，a₃=5，则S₅=    ．

9. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，若焦点在x轴的椭圆的离心率为，则m的值为    ．

10. 难度：中等

已知函数，则满足f（x）≥1的x的取值范围为    ．

11. 难度：中等

已知圆C的方程为x²+y²=r²，在圆C上经过点P（x，y）的切线方程为．类比上述性质，则椭圆上经过点（1，3）的切线方程为    ．

12. 难度：中等

在边长为6的等边△ABC中，点D为BC的中点，点E在边AC上，若，则的值是    ．

13. 难度：中等

若实数x，y满足x²+y²+xy=1，则x+y的最大值是    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）满足f（0）≥2，f（1）≥2，方程f（x）=0在区间（0，1）上有两个实数根，则实数a的取值范围为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知函数．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）对于任意实数，恒有f（x）＞m成立，求实数m的取值范围．

16. 难度：中等

已知a＞0，a≠1．设命题p，q分别为p：函数y=x²+（3a-4）x+1的图象与x轴有两个不同的交点；q：函数y=a^x在（0，+∞）内单调递减．如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

某花店老板经调查发现成本为50元的花篮每天卖出的数量x（个）与销售价格存在下列关系：当x≤25时，每个花篮的平均价格为元；当x∈（25，50]时，每个花篮的平均价格为110-x元．请你为花店老板规划一下，每天进多少个花篮时，以什么样的价格卖出利润y最大？

18. 难度：中等

设数列{a_n}满足a₁=2，（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）去掉数列{a_n}中的第3项，第6项，第9项，…，第3n项…，余下的项按顺序不变，重新组成一个新数列{b_n}，求{b_n}的前n项和T_n．

19. 难度：中等

已知椭圆C的离心率为，一条准线方程为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设动点P满足：，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，求A，B的坐标；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x-alnx，．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的单调区间；
（Ⅲ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x，使得f（x）＜g（x）成立，求a的取值范围．

21. 难度：中等

选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵，求直线x+2y=1在A²对应变换作用下得到的曲线方程．

22. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，求过抛物线（t为参数）的焦点且与直线（l为参数）垂直的直线的普通方程．

23. 难度：中等

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为BC的中点，F在A₁B₁上．
（1）若DE⊥CF，求A₁F的长；
（2）求二面角C-C₁D-E的余弦值．

24. 难度：中等

若数列{a_n}的通项，实数p，q满足p＞q＞0且p＞1，s_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）求证：当n≥2时，pa_n＜a_n-1；
（2）求证；
（3）若，求证．