2011-2012学年江苏省南京实验国际学校高三（上）9月学情调研数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

命题“∃x∈R，x²-2x+1＜0”的否定是    ．

2. 难度：中等

已知直线l经过点P（2，1），且与直线2x+3y+1=0垂直，则l的方程是    ．

3. 难度：中等

设复数z满足（z-1）i=-1+i，其中i是虚数单位，则复数z的模是    ．

4. 难度：中等

某工厂生产某种产品5000件，它们来自甲、乙、丙3条不同的生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．若从甲、乙、丙三条生产线抽取的件数之比为1：2：2，则乙生产线生产了    件产品．

5. 难度：中等

有四条线段，其长度分别为2，3，4，5，现从中任取三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是    ．

6. 难度：中等

阅读如图的流程图．若输入x的值为8，则输出y的值是    ．

7. 难度：中等

设函数f（x）=的定义域为集合A，则集合A∩Z中元素的个数是    ．

8. 难度：中等

已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=，则f（-4）的值是    ．

9. 难度：中等

△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足csinA=acosC，则角C=    ．

10. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，若a₁=，a₄=-4，则|a₁|+|a₂|+…+|a₆|=    ．

11. 难度：中等

已知，均为单位向量．若|+2|=，则向量，的夹角等于    ．

12. 难度：中等

如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是    ．

13. 难度：中等

已知抛物线y²=4x的焦点为F，准线为l．过点F作倾斜角为60°的直线与抛物线在第一象限的交点为A，过A作l的垂线，垂足为A₁，则△AA₁F的面积是    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，若直线y=kx+1与曲线y=|x+|-|x-|有四个公共点，则实数k的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinxcosx-2sin²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[-，]上的最大值和最小值．

16. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D、E分别在边BC、B₁C₁上，CD=B₁E=AC，∠ACD=60°．
求证：
（1）BE∥平面AC₁D；
（2）平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁．

17. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，右焦点为F．若C的右准线l的方程为x=4，离心率e=．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设点P为直线l上一动点，且在x轴上方．圆M经过O、F、P三点，求当圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程．

18. 难度：中等

经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送（满载）到相距400km的水果批发市场．据测算，J型卡车满载行驶时，每100km所消耗的燃油量u（单位：L）与速度v（单位：km/h）的关系近似地满足u=除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为每升（L）7.5元．
（1）设运送这车水果的费用为y（元）（不计返程费用），将y表示成速度v的函数关系式；
（2）卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-（1+2a）x+alnx（a为常数）．
（1）当a=-1时，求曲线y=f（x）在x=1处切线的方程；
（2）当a＞0时，讨论函数y=f（x）在区间（0，1）上的单调性，并写出相应的单调区间．

20. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和是S_n，已知S₃=9，S₆=36．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数m、k，使a_m，a_m+5，a_k成等比数列？若存在，求出m和k的值，若不存在，说明理由；
（3）设数列{b_n}的通项公式为b_n=3n-2．集合A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=b_n，n∈N^*}．将集合A∪B中的元素从小到大依次排列，构成数列c₁，c₂，c₃，…，求{c_n}的通项公式．

21. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，AB为圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC．

22. 难度：中等

选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=．在平面直角坐标系中，设直线l：2x+y-7=0在矩阵A对应的变换作用下得到另一直线l′：9x+y-91=0，求实数m、n的值．

23. 难度：中等

选修4-4：在极坐标系中，已知直线l：ρcos（θ+）=，圆C：ρ=4cosθ，求直线l被圆C截得的弦长．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲解不等式：|2x-1|+3x＞1．

25. 难度：中等

一个口袋中装有大小和质地都相同的白球和红球共7个，其中白球个数不少于红球个数．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为随机变量X．若P（X=2）=．
（1）求口袋中的白球个数；
（2）求X的概率分布与数学期望．

26. 难度：中等

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点P，Q，R分别是棱AB，CC₁，D₁A₁的中点．
（1）求证：B₁D⊥平面PQR；
（2）设二面角B₁-PR-Q的大小为θ，求|cosθ|．