Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，右焦点为F．若C的右准线l的方程为x=4，离心率e=．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设点P为直线l上一动点，且在x轴上方．圆M经过O、F、P三点，求当圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程．

Answer

（1）设椭圆C的标准方程是，由题意知，由此能够求出椭圆C的方程．
（2）由（1）知，F（2，0），由题意设P（4，t），t＞0，线段OF的垂直平分线方程为x=1，因为线段FP的中心为（3，），斜率为．所以线段FP的垂直平分线方程为，由此入手能够求出圆M的方程．
【解析】
（1）由题意，设椭圆C的标准方程是，
则，
解得，
∴所求椭圆C的方程为．
（2）由（1）知，F（2，0），由题意设P（4，t），t＞0，
线段OF的垂直平分线方程为x=1，①
因为线段FP的中心为（3，），斜率为．
所以线段FP的垂直平分线方程为，
即，②
联立①②，解得，
即：圆心M（1，），
∵t＞0，∴=2，
当且仅当，即t=2时，
圆心M到x轴的距离最小，此时圆心为M（1，2），半径为OM=3，
故所求圆M的方程为．