Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D、E分别在边BC、B₁C₁上，CD=B₁E=AC，∠ACD=60°．
求证：
（1）BE∥平面AC₁D；
（2）平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁．

Answer

（1）由BC∥B1C1，CD=B1E，可得BD=C1E，从而有四边形BDC1E是平行四边形，利用线面平行的判定定理即可使问题解决；
（2）由于CD=AC，∠ACD=60°，利用余弦定理可求得AD=AC，从而有AD⊥BC，继而得出AD⊥平面BCC1B1；利用面面垂直的判定定理即可得证．
证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
∴BC∥B1C1，
∵点D、E分别在边BC、B1C1上，CD=B1E，
∴BD=C1E，BD∥C1E，
∴四边形BDC1E是平行四边形，
∴BE∥C1D，又C1D⊂平面AC1D，BE⊄平面AC1D，
∴BE∥平面AC1D；
（2）由三棱柱ABC-A1B1C1中是直三棱柱得，CC1⊥平面ABC，
∵AD⊂平面ABC，
∴AD⊥CC1，①
在△ACD中，CD=AC，∠ACD=60°，
由余弦定理得：AD==AC，
∴AD2+CD2=AC2，
∴∠ADC=90°即AD⊥BC，②
∵BC⊂平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，③
∴由①②③得：AD⊥平面BCC1B1．
∵AD⊂平面ADC1，
∴平面ADC1⊥平面BCC1B1．