2011-2012学年湖南师大附中高三第四次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={1，2}，B={1}，则集合A∪B的子集个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

过点（1，2）与圆x²+y²=1相切的直线方程是（ ）
A．x=1
B．3x-4y+5=0
C．3x-4y+5=0或x=1
D．5x-4y+3=0或x=1

3. 难度：中等

某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如图），s₁，s₂分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则它们的大小关系是（ ）

A．s₁＜s₂
B．s₁≤s₂
C．s₁＞s₂
D．s₁≥s₂

4. 难度：中等

已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），则f（6）的值为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

5. 难度：中等

在△ABC中，已知B=30°，，那么这个三角形是（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形

6. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x+4y的最大值为（ ）
A．10
B．12
C．13
D．14

7. 难度：中等

已知F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线C上一点，则∠POF的大小不可能是（ ）
A．20°
B．40°
C．80°
D．160°

8. 难度：中等

已知函数f（x）=-x²+2mx+1，若∃x₂∈R，使得∀x₁∈[1，2]都有f（x₁）＜f（x₂），则实数m的取值范围是（ ）
A．（-∞，1）
B．（1，2）
C．（2，+∞）
D．（-∞，1）与（2，+∞）

二、填空题

9. 难度：中等

（优选法）在调试某设备的线路设计中，要选一个电阻，调试者手中只有阻值分别为0.7KΩ，1.1KΩ，1.9KΩ，2.0KΩ，3.5KΩ，4.5KΩ，5.5KΩ七种阻值不等的定值电阻，他用分数法进行优法进行优选试验时，依次将电阻值从小到大安排序号，则第1个试点的电阻的阻值是    ．

10. 难度：中等

（坐标系与参数方程）已知曲线C₁的参数方程为，曲线C₂的极坐标方程，则曲线C₁与曲线C₂的交点个数有    个．

11. 难度：中等

计算：1+i²+i³+…+i¹⁰=    （i表示虚数单位）

12. 难度：中等

在一个直径为6的球内随机取一点，则这个点到球心的距离小于1的概率为    ．

13. 难度：中等

一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是    ．

14. 难度：中等

已在f（x）=e^x-ax-1，若f（x）在定义域R内单调递增，则a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

，则λ的值为    ．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项a_n=2n-1（n=1，2，3，…），现将其中所有的完全平方数（即正整数的平方）抽出按从小到大的顺序排列成一个新的数列{b_n}．
（1）若b_k=a_m，则正整数m关于正整数k的函数表达式为m=   
（2）记S_n是数列 能取到的最大值等于    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）求数列{2^a_n}的前n项和S_n．

18. 难度：中等

“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80 mg/100ml（不含80）
之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车．”2009年8月15日晚8时开始某市交警一队在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过两个小时共查出酒后驾车者60名，图甲是用酒精测试仪对这60名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图．

（1）求这60名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数；（图甲中每组包括左端点，不包括右端点）
（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，图乙的程序框图是对这60名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计，求出图乙输出的S值，并说明S的统计意义；（图乙中数据m_i与f_i分别表示图甲中各组的组中值及频率）

（3）本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度在70mg/100ml（含70）以上，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队陈队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度在70mg/100ml（含70）以上的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，求吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率．

19. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABC折起，使∠BDC=60°．
（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（2）设E为BC的中点，求异面直线AE与DB所成角的大小．

20. 难度：中等

农户计划将已有的一块半径为100米的土地（如图所示）重新规划，拟将面积相等的两个△AOD与△BOC置为普通花草地，△COD置为特级花草地，O为半圆圆心，∠COB=θ，据市场调查，特级花草市场销售价变化不大，普通花草市场销售价变化较大，以往经验显示：特级花草地每平方米年利润为a元，普通花草地每平方米年利润为asinθ元．
（1）分别写出△BOC、△AOD、△COD的面积关于θ的函数关系；
（2）写出农户年总利润f（θ）关于θ的函数关系，当θ为何值时，年总利润f（θ）最大．

21. 难度：中等

已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆G与x轴交于A、C两点，与y轴交于B、D两点，且A点的坐标为（-2，0），四边形ABCD的面积为4．
（1）求椭圆G的方程；
（2）过x轴上一点M（1，0）作一条不垂直于y轴的直线l，交椭圆G于E、F点，是否存在直线l，使得△AEF的面积为，说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断，定义：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．
（1）若f（x）=cosx，x∈[0，π]，试写出f₁（x），f₂（x）的表达式；
（2）已知函数f（x）=x²，x∈[-1，4]，试判断f（x）是否为[-1，4]上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k；如果不是，请说明理由；
（3）已知b＞0，函数f（x）=-x³+3x²是[0，b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围．