Question

已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆G与x轴交于A、C两点，与y轴交于B、D两点，且A点的坐标为（-2，0），四边形ABCD的面积为4．
（1）求椭圆G的方程；
（2）过x轴上一点M（1，0）作一条不垂直于y轴的直线l，交椭圆G于E、F点，是否存在直线l，使得△AEF的面积为，说明理由．

Answer

（1）由A（-2，0），知AC=4，由题设知四边形ABCD为菱形，且其面积S==4，故BD=2，所以椭圆G是焦点在x轴上的椭圆，且且a=2，b=1，由此能求出椭圆G的方程．
（2）设直线l的方程为x=my+1，由，得（m2+4）y2+2my-3=0，△=4m2+12（m2+4）＞0，设E（x1，y1），F（x2，y2），则，，由此能推导出不存在直线l，使得△AEF的面积为．
【解析】
（1）∵A（-2，0），∴AC=4，
由题设知四边形ABCD为菱形，且其面积S==4，
∴BD=2，
∴椭圆G是焦点在x轴上的椭圆，且a=2，b=1，
∴椭圆G的方程为．
（2）∵直线l不垂直于y轴，∴设直线l的方程为x=my+1，
由，得（m2+4）y2+2my-3=0，
△=4m2+12（m2+4）＞0，
设E（x1，y1），F（x2，y2），则，，
x1+x2=m（y1+y2）+2=，
=，
设△AEF的面积为S，则S=，
故=
=9×
=9×，
令，则t，
则，故S≠，
所以不存在直线l，使得△AEF的面积为．