2011-2012学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

抛物线的准线方程是（ ）
A．
B．y=2
C．
D．y=-2

2. 难度：中等

已知命题P：∀x∈R，x＞sinx，则P的否定形式为（ ）
A．P：∃x∈R，x≤sin
B．P：∀x∈R，x≤sin
C．P：∃x∈R，x＜sin
D．P：∀x∈R，x＜sin

3. 难度：中等

已知向量=（1，1，0），=（-1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（ ）
A．1
B．
C．
D．

4. 难度：中等

以下四个命题中正确的是（ ）
A．若，则P，A，B三点共线
B．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
C．
D．△ABC为直角三角形的充要条件是

5. 难度：中等

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=BB₁，则CA₁与C₁B所成的角的大小是（ ）
A．60°
B．75°
C．90°
D．105°

6. 难度：中等

以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x²+y²-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（ ）
A．y=3x²或y=-3x²
B．y=3x²
C．y²=-9x或y=3x²
D．y=-3x²或y²=9

7. 难度：中等

若椭圆和双曲线的共同焦点为F₁，F₂，P是两曲线的一个交点，则|PF₁|•|PF₂|的值为（ ）
A．
B．84
C．3
D．21

8. 难度：中等

设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x²+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．5
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

已知M（-2，0），N（2，0），|PM|-|PN|=3，则动点P的轨迹为    ．

10. 难度：中等

设x，y满足，则k=（x-1）²+y²的最大值为    ，最小值为    ．

11. 难度：中等

试求过点P（3，5）且与曲线y=x²相切的直线方程是    ．

12. 难度：中等

F₁，F₂是椭圆的两个焦点，过F₂作倾斜角为的弦AB，则△F₁AB的面积为    ．

13. 难度：中等

若空间三点A（1，5，-2），B（2，4，1），C（p，3，q+2）共线，则p=    ，q=    ．

14. 难度：中等

已知矩形ABCD，P为ABCD外一点，PA⊥面ABCD，G为△PAC的重心，则=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

写出命题，则x=2且y=一1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

16. 难度：中等

中心在原点，一个焦点为F₁（0，）的椭圆截直线y=3x-2所得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程．

17. 难度：中等

如图，直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱） ABC-A₁B₁C₁，在底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M，N分别为A₁B₁，A₁A的中点．
（1）求的值；    
（2）求证：BN⊥平面C₁MN．

18. 难度：中等

已知点 M（0，-1），F（0，1），过点M的直线l与曲线在x=-2处的切线平行．
（1）求直线l的方程；
（2）求以点F为焦点，l为准线的抛物线C的方程．

19. 难度：中等

如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD，
（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；
（2）证明平面AMD⊥平面CDE；
（3）求二面角A-CD-E的余弦值．

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁•k₂为定值；
（Ⅲ）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．