2009-2010学年高一（下）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（ ）
A．4cm²
B．6cm²
C．8cm²
D．16cm²

2. 难度：中等

已知，且与的夹角为45°，则x的值为（ ）
A．0
B．-1
C．0或-1
D．-1或1

3. 难度：中等

边长为的等边三角形ABC中，设，，，则=（ ）
A．0
B．1
C．3
D．-3

4. 难度：中等

设与是两个不共线向量，且向量+与-（）共线，则实数λ的值等于（ ）
A．
B．-
C．2
D．-2

5. 难度：中等

设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a、b、α、β都是非零实数，若f（2008）=-1，则f（2009）等于（ ）
A．-1
B．1
C．0
D．2

6. 难度：中等

在△OAB中，，OD是AB边上的高，若则λ等于（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

下列四个函数中，同时具有：（1）最小正周期是π；（2）图象关于对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设a=sin17°cos45°+cos17°sin45°，b=2cos²13°-1，c=，则有（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．c＜a＜b
D．b＜a＜c

9. 难度：中等

曲线轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P₁，P₂，P₃，…，则|P₂P₄|等于（ ）
A．
B．
C．π
D．2π

10. 难度：中等

已知θ是△ABC在平面内一定点，动点P满足，λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．内心
B．垂心
C．外心
D．重心

二、填空题

11. 难度：中等

例题：已知，，且，求cosβ的值为    ．

12. 难度：中等

设f（x）=cos，x∈z，则f（25）+f（26）+f（27）+…+f（46）=    ．

13. 难度：中等

若△ABC的内角A满足，则sinA+cosA=    ．

14. 难度：中等

某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是    小时．

15. 难度：中等

设向量=（cos25°，sin25°），=（sin20°，cos20°），若t为实数，且，则的最小值为    ．

16. 难度：中等

给出下列四个命题，则其中正确命题的序号为   
（1）存在一个△ABC，使得sinA+cosA=1
（2）在△ABC中，A＞B⇔sinA＞sinB
（3）在△ABC中，若，C=30°，c=1，则△ABC为直角三角形或等腰三角形
（4）在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形．

17. 难度：中等

下面有五个命题：
①函数y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π．
②终边在y轴上的角的集合是{a|a=|．
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点．
④把函数的图象向右平移得到y=3sin2x的图象
⑤函数在（0，π）上是减函数
其中真命题的序号是    （（写出所有真命题的编号））

三、解答题

18. 难度：中等

如图，函数y=2sin（πx+φ），x∈R，（其中0≤φ≤）的图象与y轴交于点（0，1）．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求的夹角．

19. 难度：中等

已知A、B、C是△ABC三内角，向量=（-1，），=（cosA，sinA），且，
（Ⅰ）求角A
（Ⅱ）若．

20. 难度：中等

在△ABC中，已知角A，B，C满足2B=A+C，且tanA和tanB是方程x²-λx+λ+1=0的两根，若△ABC的面积为，试求△ABC的三边的长．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=asinxcosx+acos²x-a+1（a＞0）的定义域为R，当时，f（x）的最大值为2
（1）求a的值
（2）用五点法作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的图象
（3）写出该函数的单调递增区间及对称中心的坐标．

22. 难度：中等

已知向量满足，且，令，
（1）求（用k表示）；
（2）当k＞0时，对任意的t∈[-1，1]恒成立，求实数x取值范围．