Question

在△ABC中，已知角A，B，C满足2B=A+C，且tanA和tanB是方程x²-λx+λ+1=0的两根，若△ABC的面积为，试求△ABC的三边的长．

Answer

在△ABC中，由角A，B，C满足2B=A+C，知B=60°，tanB=．由tanA和tanB是方程x2-λx+λ+1=0的两根，把tanB=代入方程x2-λx+λ+1=0，解得λ=2．由韦达定理有tanA•tanB=2，知tanA=2+，tanC=-tan（A+B）=1．故C=45°，A=75°．由此利用若△ABC的面积为，能求出△ABC的三边的长．
【解析】
在△ABC中，
∵角A，B，C满足2B=A+C，∴B=60°，tanB=．
∵tanA和tanB是方程x2-λx+λ+1=0的两根，
∴把tanB=代入方程x2-λx+λ+1=0，
解得λ=2．由韦达定理有tanA•tanB=λ+1=2，
∴tanA==2+，
∴tanC=-tan（A+B）
=-
=
=1．
∴C=45°，A=75°．∴a：b：c=sin75°：sin60°：sin45°=（）：2：2．
设，，，
∵△ABC的面积为，
∴，
即，
解得k=1，
∴．