2008-2009学年北京101中学高三（上）数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，4，5}，集合B={2，3，4}，那么集合{1，5}等于（ ）
A．A∩∁_UB）
B．∁_U （A∩B）
C．∁_U（A∪B）
D．A∪∁_UB）

2. 难度：中等

已知a，b都是实数，那么“a²＞b²”是“a＞b”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中a₁•a₅=4，那么a₁•a₂•a₃•a₄•a₅等于（ ）
A．±64
B．64
C．±32
D．32

4. 难度：中等

若函数f（x）=a^x-1的图象经过点（2，4），则f^-1（2）的值是（ ）
A．
B．
C．2
D．4

5. 难度：中等

如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法有（ ）
A．50种
B．60种
C．120种
D．210种

6. 难度：中等

已知关于x的方程x²-kx+k+3=0（k∈R）有两个正根，那么这两个根的倒数和的最小值是（ ）
A．-2
B．
C．
D．1

7. 难度：中等

已知函数f（x）的图象如图所示，f′（x）是函数f（x）的导函数，且y=f（x+1）是奇函数，那么下列结论中错误的是（ ）

A．f（1-x）+f（x+1）=0
B．f′（x）（x-1）≥0
C．f（x）（x-1）≥0
D．f（x）=f（0）

8. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1（n=1，2，3，…），记T₁=a₁，T_n=（n=2，3，…），那么T_2n=（ ）
A．2ⁿ+1
B．
C．
D．3n²+2n

二、填空题

9. 难度：中等

=    ．

10. 难度：中等

已知复数，i为虚数单位），那么a+b=    ．

11. 难度：中等

展开式中，常数项是    ．

12. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中S₁=1，S₁₉=95，那么S₁₀=    ．

13. 难度：中等

设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为，且各次射击相互独立．若甲、乙各射击一次，则甲命中但乙未命中目标的概率是    ；若按甲、乙、甲…的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时甲射击了两次的概率是    ．

14. 难度：中等

定义在实数集R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=Ax+B（A，B为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．
下列说法正确的有：    ．（写出所有正确说法的序号）
①对给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；
②g（x）=ex为函数f（x）=e^x的一个承托函数；
③函数不存在承托函数；
④函数，若函数g（x）的图象恰为f（x）在点处的切线，则g（x）为函数f（x）的一个承托函数．

三、解答题

15. 难度：中等

已知关于x的不等式组其中a＞0．
（Ⅰ）求不等式①的解集；
（Ⅱ）若不等式组的解集为空集，求实数a的取值范围．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2ax，把函数f（x）的图象向左平移一个单位得到函数y=g（x）的图象，且一个（x）是偶函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）-[g（x）+1]，求函数F（x）在区间[[1，3]上的最大值和最小值．

17. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₁=2，Sn+1=3Sn+2（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）证明数列{a_n}是等比数列并求通项a_n；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

18. 难度：中等

某中学已选派20名学生观看当地举行的三场（同时进行）比赛，名额分配如下：

足球	跳水	柔道
10	6	4

（Ⅰ）从观看比赛的学生中任选2人，求他们恰好观看的是同一场比赛的概率；
（Ⅱ）从观看比赛的学生中任选3人，求他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率；
（Ⅲ）如果该中学可以再安排4名教师选择观看上述3场比赛（假设每名教师选择观看各场比赛是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记观看足球比赛的教师人数ξ为，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

设函数f（x）=x²-ax+bln（x+1）（a，b∈R，且a≠2）．
（1）当b=1且函数f（x）在其定义域上为增函数时，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，试用a表示b；
（3）在（2）的条件下，讨论函数f（x）的单调性．

20. 难度：中等

设f（x）是定义在区间D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两个实数x₁，x₂，恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），则称f（x）为定义在D上的C函数．
（Ⅰ）试判断函数是否为各自定义域上的C函数，并说明理由；
（Ⅱ）已知f（x）是R上的C函数，m是给定的正整数，设a_n=f_n，n=0，1，2，…，m，且a=0，a_m=2m．记S_f=a₁+a₂+…+a_m对于满足条件的任意函数f（x），试求S_f的最大值；
（Ⅲ）若g（x）是定义域为R的函数，且最小正周期为T，试证明g（x）不是R上的C函数．