Question

设f（x）是定义在区间D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两个实数x₁，x₂，恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），则称f（x）为定义在D上的C函数．
（Ⅰ）试判断函数是否为各自定义域上的C函数，并说明理由；
（Ⅱ）已知f（x）是R上的C函数，m是给定的正整数，设a_n=f_n，n=0，1，2，…，m，且a=0，a_m=2m．记S_f=a₁+a₂+…+a_m对于满足条件的任意函数f（x），试求S_f的最大值；
（Ⅲ）若g（x）是定义域为R的函数，且最小正周期为T，试证明g（x）不是R上的C函数．

Answer

（Ⅰ）f1（x）=x2是C函数，直接找f（αx1+（1-α）x2）-αf（x1）-（1-α）f（x2），推出其小于等于0即可； 不是C函数，采用举反例的方法即可，x1=-3，x2=-1，．
（Ⅱ）先根据定义求出an=f（n）的范围，再结合定义即可求出Sf的最大值即可．
 （Ⅲ）假设g（x）是R上的C函数．若存在m＜n且m，n∈[0，T]使得g（m）≠g（n）．分g（m）＜g（n），g（m）＞g（n），利用反证法，可以证明g（x）不是R上的C函数．
【解析】
（Ⅰ）：f1（x）=x2是C函数，证明如下：
对任意实数x1，x2及α∈（0，1），
有f（αx1+（1-α）x2）-αf（x1）-（1-α）f（x2）=（αx1+（1-α）x2）2-αx12-（1-α）x22=-α（1-α）x12-α（1-α）x22+2α（1-α）x1x2=-α（1-α）（x1-x2）2≤0．
即f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2）．
∴f1（x）=x2是C函数．
不是C函数，证明如下：
取x1=-3，x2=-1，，
则f（αx1+（1-α）x2）-αf（x1）-（1-α）f（x2）=．
即f（αx1+（1-α）x2）＞αf（x1）+（1-α）f（x2）．
∴不是C函数．
（Ⅱ）对任意0≤n≤m，取x1=m，x2=0，．
∵f（x）是R上的下凸函数，an=f（n），且a=0，am=2m
∴an=f（n）=f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2）=．
那么Sf=a1+a2+…+am≤2×（1+2+…+m）=m2+m．
可证f（x）=2x是C函数，且使得an=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此时Sf=m2+m．
综上所述，Sf的最大值为m2+m．
（Ⅲ）假设g（x）是R上的C函数．
若存在m＜n且m，n∈[0，T]使得g（m）≠g（n）．
若g（m）＜g（n），记，则0＜α＜1，且n=αx1+（1-α）x2
那么g（n）=g[αx1+（1-α）x2]≤αg（x1）+（1-α）g（x2）=g（m）
这与g（m）＜g（n）矛盾．
若g（m）＞g（n），
记也可得到矛盾．
∴g（x）在[0，T]上是常数函数，又因为g（x）是周期为T的函数，所以g（x）在R上是常数函数，这与g（x）的最小正周期为T矛盾．
所以g（x）不是R上的C函数． （14分）