Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₁=2，Sn+1=3Sn+2（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）证明数列{a_n}是等比数列并求通项a_n；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）由Sn+1=3Sn+2，知Sn=3Sn-1+2（n≥2），两式作差可得an+1=3an（n≥2），然后验证第二项与第一项的比是否满足，从而证明{an}是等比数列，然后根据等比数列的通项公式解之即可；
（II）根据数列{nan}的特点可知利用错位相消法进行求和即可．
证明：（Ⅰ）∵Sn+1=3Sn+2，
∴Sn=3Sn-1+2（n≥2）
两式相减得an+1=3an（n≥2）
∵S1=2，Sn+1=3Sn+2
∴a1+a2=3a1+2即a2=6则=3
∴=3（n≥1）
∴数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列
∴an=2×3n-1（n=1，2，3，…）．
（Ⅱ）∵Tn=1•a1+2•a2+…+nan=1×2+2×2×31+…+n×2×3n-1，
∴3Tn=1×2×3+2×2×32+…+（n-1）×2×3n-1+n×2×3n，（9分）
∴-2Tn=2（1+3+32+…3n-1）-n×2×3n=2×-n×2×3n=3n（1-2n）-1（11分）
∴ （13分）