2010-2011学年宁夏银川一中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

命题p：a²+b²＜0（a，b∈R）；命题q：（a-2）²+|b-3|≥0（a，b∈R），下列结论正确的是（ ）
A．“p∨q”为真
B．“p∧q”为真
C．“￢p”为假
D．“￢q”为真

2. 难度：中等

椭圆+=1上一点P到它一个焦点的距离是7，则P到另一个焦点的距离是（ ）
A．17
B．15
C．3
D．1

3. 难度：中等

若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a+c≥b-c
B．ac＞bc
C．＞0
D．（a-b）c²≥0

4. 难度：中等

设抛物线y²=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（ ）
A．
B．8
C．
D．16

5. 难度：中等

若a，b∈R⁺，下列不等式中正确的是（ ）
A．≥ab≥
B．≥≥ab
C．≥≥ab
D．≥ab≥

6. 难度：中等

已知双曲线的离心率，2]．双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角记为θ，则θ的取值范围是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，π]

7. 难度：中等

双曲线的渐近线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知正数x、y满足，则x+2y的最小值是（ ）
A．18
B．16
C．8
D．10

9. 难度：中等

已知抛物线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若x²=1，则x=1”的否命题为：“若x²=1，则x≠1”
B．“x=-1”是“x²-5x-6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x²+x+1＜0”
D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题

11. 难度：中等

若点O和点F（-2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

有下列命题：
①“若x²+y²=0，则x，y全是0”的否命题；
②“全等三角形是相似三角形”的否命题；
③“若m≥1，则mx²-2（m+1）x+m+3＞0的解集是R”的逆命题；
④“若a+7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．
其中正确的是（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①④

二、填空题

13. 难度：中等

下列命题中：①∀x∈R，（x-）²＞0；②∀x∈R，e^x＞0；③∃x∈Z，lgx=-6；④∃x∈R，3x²-3x+4=0；⑤∃x∈R，（x-1）²≤0．其中为真命题的是    ．

14. 难度：中等

已知平行四边形ABCD的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在四边形ABCD的内部，则z=2x-5y的取值范围是    ．

15. 难度：中等

椭圆+=1的焦点坐标为    ．

16. 难度：中等

已知直线y=kx 与椭圆+=1（a＞b＞0）和双曲线-=1依次交于A、B、C、D 四点，O为坐标原点，M为平面内任意一点（M与O不重合），若+++=λ，则λ等于    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=（c为常数，n∈N^*）且a₁，a₂，a₅成公比不为1的等比数列．
（1）求证：数列{}是等差数列
（2）求c的值
（3）设b_n=a_n•a_n+1，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明：S_n＜．

18. 难度：中等

已知a，b都是正数，并且a≠b，求证：a⁵+b⁵＞a²b³+a³b²．

19. 难度：中等

设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．
（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

已知直线l经过抛物线y²=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
（1）若|AF|=4，求点A的坐标；
（2）若直线l的倾斜角为45°，求线段AB的长．

21. 难度：中等

某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元．问这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用的最小值．（最佳使用年限佳是使年平均费用的最小的时间）

22. 难度：中等

（如图）过椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB；若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．
（1）求椭圆=1的“左特征点”M的坐标．
（2）试根据（1）中的结论猜测：椭圆=1（a＞b＞0）的“左特征点”M是一个怎么样的点？并证明你的结论．