2010-2011学年广东省东莞五中高二（下）期中数学试卷（导数、积分）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数y=x²cosx的导数为（ ）
A．y′=2xcosx-x²sin
B．y′=2xcosx+x²sin
C．y′=x²cosx-2xsin
D．y′=xcosx-x²sin

2. 难度：中等

下列结论中正确的是（ ）
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在x附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x）是极大值
C．如果在x附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x）是极小值
D．如果在x附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，那么f（x）是极大值

3. 难度：中等

以从地面以初速40m/s竖直向上抛一物体，t（s）时刻的速度v=40-10t²，则此物体达到最高时的高度为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

函数f（x）=3x-4x³（x∈[0，1]）的最大值是（ ）
A．1
B．
C．0
D．-1

5. 难度：中等

如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功为（ ）
A．0.28J
B．0.12J
C．0.26J
D．0.18J

6. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3ax²+2bx在点x=1处有极小值-1，则a，b的值分别为（ ）
A．
B．
C．3，-2
D．-3，2

7. 难度：中等

若复数（a²-a-2）+（|a-1|-1）i（a∈R）不是纯虚数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠-1或a≠2
B．a≠-1且a≠2
C．a≠-1
D．a≠2

8. 难度：中等

函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数（ ）
A．（，）
B．（π，2π）
C．（，）
D．（2π，3π）

二、填空题

9. 难度：中等

已知（2x-1）+i=y-（3-y）i，其中x，y∈R，求x=    ．

10. 难度：中等

曲线y=2x³-3x²共有    个极值．

11. 难度：中等

已知f（x）为一次函数，且f（x）=x+2，则f（x）=    ．

12. 难度：中等

对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“    ”．

13. 难度：中等

关于x的不等式mx²-nx+p＞0（m，n，p∈R）的解集为（-1，2），则复数m+pi所对应的点位于复平面内的第    象限．

14. 难度：中等

对实数a，b定义一种运算：a⊗b=n（n为常数），具有性质（a+1）⊗b=n+1，a⊗（b+1）=n-2．若1⊗1=2，则2011⊗2011=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

设函数f（x）=ax+（a，b∈Z），曲线y=f（x）在点（2，1）处的切线与x轴平行．
（1）求f'（x）；   
（2）求f（x）的解析式．

16. 难度：中等

计算由直线y=x-4，曲线y=以及x轴所围成图形的面积S．

17. 难度：中等

已知曲线 y=x³+x-2 在点 P处的切线 l₁ 平行直线4x-y-1=0，且点 P在第三象限，
（1）求P的坐标；
（2）若直线 l⊥l₁，且 l 也过切点P，求直线l的方程．

18. 难度：中等

在数列{a_n}中，已知．
（1）求a₂，a₃，a₄，并由此猜想数列{a_n}的通项公式a_n的表达式；
（2）用适当的方法证明你的猜想．

19. 难度：中等

某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品的零售价定为p元，则销售量Q（单位：件）与零售价p（单位：元）有如下关系Q=8300-170p-p²．问该商品零售价定为多少元时，毛利润L最大，并求出最大毛利润．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ln|x|（x≠0），函数g（x）=（x≠0）
（1）当x≠0时，求函数y=g（x）的表达式；
（2）若a＞0，函数y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2，求a的值；
（3）在（2）的条件下，求直线y=与函数y=g（x）的图象所围成图形的面积．