2008-2009学年江苏省南京师大附中高三（上）第二次段考数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合A={-1，0，1，2，3，4，5}，集合B={2，4，6，8}，则集合A∩B=_    ．

2. 难度：中等

已知复数z₁=1-i，z₂=1+i，那么=    ．

3. 难度：中等

tan300°+sin450°=    _

4. 难度：中等

两异面直线a，b成80°角，过空间任意一点P作直线l，使其与两直线a，b成等角50°，则这样的直线l有    条．

5. 难度：中等

若直线l经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，且与直线3x+y-1=0平行，则该直线l方程为    ．

6. 难度：中等

已知向量，，满足：||=1，||=2，=+，且⊥，则与的夹角大小是    ．

7. 难度：中等

在△ABC中，角B=45°，角B的对边b=2，若这样的三角形有且只有一解，则角A的对边a的取值范围为    ．

8. 难度：中等

若圆（x-2）²+（y-2）²=r²（r＞0）上只有两个不同的点到直线l：x+y-10=0的距离等于，则r的取值范围是    ．

9. 难度：中等

设中心在原点的双曲线与椭圆+y²=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是    ．

10. 难度：中等

函数f（x）=sin（）+sin的图象的相邻两对称轴之间的距离是    ．

11. 难度：中等

设D、P为△ABC内的两点，且满足，，则=    ．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（0，1），（4，2），（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当ω=xy取到最大值时，点P的坐标是    ．

13. 难度：中等

函数f（x）=x²-bx+c，满足对于任何x∈R都有f（x）=f（2-x），且f（0）=3．则f（b^x）与f（c^x）的大小关系是    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x），x∈R满足f（2）=3，且f（x）在R上的导数满足f^/（x）-1＜0，则不等式f（x²）＜x²+1的解集为     ．

15. 难度：中等

将正奇数排列如下表其中第i行第j个数表示a_ij（i∈N^*，j∈N^*），例如a₃₂=9，若a_ij=2009，则i+j=    ．

二、解答题

16. 难度：中等

已知△ABC的顶点A（2，3），∠B的平分线所在直线的方程为y=0，AB边上的高所在直线的方程为x+y-1=0，求边BC所在直线的方程．

17. 难度：中等

已知函数，．
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）求f（x）的单调区间．

18. 难度：中等

如图已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AC=BC，M，N，P，Q分别是AA₁，BB₁，AB，B₁C₁的中点，
（1）求证：面PCC₁⊥面MNQ；
（2）求证：PC₁∥面MNQ．

19. 难度：中等

已知圆C与两坐标轴的正半轴都相切，圆心C到直线y=-x的距离等于．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线（m＞2，n＞2）与圆C相切，求mn的最小值．

20. 难度：中等

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．

21. 难度：中等

已知f（x）在（-1，1）上有定义，，且满足x，y∈（-1，1）有．对数列{x_n}有
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数．
（2）求f（x_n）的表达式．
（3）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N^*且＜成立？若存在，求出m的最小值．