Question

已知圆C与两坐标轴的正半轴都相切，圆心C到直线y=-x的距离等于．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线（m＞2，n＞2）与圆C相切，求mn的最小值．

Answer

（1）由题意设出圆的方程，利用圆心C到直线y=-x的距离等于．求出圆心坐标，得到圆的方程．
（2）根据直线和圆相切可得 ，化简可得 ，再由基本不等式可得 ，解得 ，从而得到 ．
【解析】
（1）因为圆C与两坐标轴的正半轴都相切，圆心在y=x（x＞0），
设圆C方程为（x-a）2+（y-a）2=a2，圆心C到直线y=-x的距离等于，
所以，a=1．
∴圆C方程为（x-1）2+（y-1）2=1．
 （2）直线l方程化为为nx+my-mn=0，∵直线l与圆C：（x-1）2+（y-1）2=1相切，∴，
∴（n+m-mn）2=n2+m2，左边展开，整理得，mn=2m+2n-2．∴．
∵，∴，当且仅当m=n时成立．
∴，
∴．∵m＞2，n＞2，∴，
∴，此时m=n=．
mn的最小值为：．